圓滾線

圓滾線指一個動圓沿同一平面內的一直線或另一圓周作無滑動地滾動時，動圓上任何點的軌跡。這種曲線首先由伽利略提出。普通單擺的週期與擺動的幅度有關。為了克服這個缺點，如果在擺動平面內做兩個擺線形狀的擋板，擺的運動軌跡將仍是一條擺線，擺線的名稱由此而來。沿擺線弧擺動的擺錘，無論擺動幅度多大，擺動週期完全相同，因此亦稱為等時曲線 ^[1]  。

擺線的定義是梅森(Mersenne，M.)於1615年給出的。伽利略(Galilei，G.)是最早研究擺線的人。惠更斯(Huygens，C.)發現了擺線的等時性以後，就用它設計出擺動週期不受振幅變化的影響的擺線時鐘。擺線這個名稱，正是由於這種曲線被應用於改進鐘擺而得來的。約翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)於1696年6月號《教師學報》上提出了最速降線問題，而正確答案是由牛頓(Newton，I.)、萊布尼茨(Leibniz，G.W.)、洛必達(L′Hospital，G.-F.-A.de)及伯努利兄弟等多人獲得的 ^[2]  。

圓上定點的初始位置為座標原點，定直線為x軸。當圓滾動j 角以後，圓上定點從 O 點位置到達P點位置。當圓滾動一週，即 j從O變動2π時，動圓上定點描畫出擺線的第一拱。再向前滾動一週， 動圓上定點描畫出第二拱，繼續滾動，可得第三拱，第四拱……，所有這些拱的形狀都是完全相同的 ，每一拱的拱高為2a（即圓的直徑），拱寬為2πa（即圓的周長）。

平面上半徑為r的動圓Q(稱為母圓)沿着一條定直線l (基線)無滑動地滾動時，動圓周上點M的軌跡.取定直線為x軸(水平位置)，設動點M的初始位置為原點O，切點C(rφ，0)，則：

其中α+φ=3π/2，故擺線的參數方程為：

當參數φ從0變化到2π時，便得曲線的一拱.一拱的長為8r，且此拱與x軸之間的面積為3πr(母圓面積的三倍).曲率半徑R=4r|sin φ/2|。極大值點A_k((2k-1)πr，2r)，尖點O_k(2kπr，0)(k=0，±1，±2，…) ^[2]  。

圓滾線具有如下性質：

（1）其長度等於旋轉圓直徑的 4 倍。尤為令人感興趣的是，它的長度是 一個不依賴於π的有理數。

（2）在弧線下的面積，是旋轉圓面積的三倍。

（3）圓上描出擺線的那個點，具有不同的速度——事實上，在特定的地方它甚至是靜止的。

（4）當彈子從一個擺線形狀的容器的不同點放開時，它們會同時到達底部。

（5）擺線具有等時性。即位於擺線軌道(假定它的圖形是與上圖中的擺線關於x軸對稱的)上的一質點從靜止狀態落到軌道上最低點處所需下降時間恆為π，與起始點M₀位置無關。因此，擺線又稱為等時曲線。

（6）設P，G為一鉛直平面上不在同一條鉛直線上的兩點，則質點在重力作用下，沿某曲線無摩擦地從點P滑動到點G，當曲線為擺線的一段弧時，所需的時間最短。因此，擺線又稱為最速降線或捷線 ^[2]  。

在一個斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落，曲線的小球反而先到終點。這是由於曲線軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達。然而，兩點之間的直線只有一條，曲線卻有無數條，那麼，哪一條才是最快的呢？伽利略於1630年提出了這個問題，當時他認為這條線應該是一條弧線，可是後來人們發現這個答案是錯誤的。1696年，瑞士數學家約翰·伯努利解決了這個問題，他還拿這個問題向其他數學家提出了公開挑戰。牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等解決了這個問題。這條最速降線就是一條擺線，也叫旋輪線。

意大利科學家伽利略在1630年提出一個分析學的基本問題——“一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿着什麼曲線滑下所需時間最短。”。他説這曲線是圓，可是這是一個錯誤的答案。

瑞士數學家約翰．伯努利在1696年再提出這個最速降線的問題（problem of brachistochrone），徵求解答。次年已有多位數學家得到正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利家族的成員。這問題的正確答案是連接兩個點上凹的唯一一段旋輪線。

旋輪線與1673年荷蘭科學家惠更斯討論的擺線相同。因為鐘錶擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線（旋輪線）又稱等時曲線。

看Johann Bernoulli 對最速降線問題的beautiful解答：如果使分成的層數n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質點的運動便趨於空間A、B兩點間質點運動的真實情況，此時折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速降線．而折線的每一段趨向於曲線的切線，因而得出最速降線的一個重要性質：任意一點上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點落下的高度的平方根的比是常數．而具有這種性質的曲線就是擺線．所謂擺線，它是一個圓沿着一條直線滾動（無滑動）時，圓周上任意一點的軌跡。

因此，最速降線就是擺線，只不過在最速降線問題中，這條擺線是上、下顛倒過來的罷了。

以上便是Johann Bernoulli當時所給最速降線問題的解答。當然，這個解答在理論上並不算十分嚴謹的．但是，這個解答所藴含的基本觀點的發展，導致了一門新的學科——變分學。最速降線問題的最終而完備的解答，需要用到變分學的知識。