四元術

四元術是在天元術基礎上逐漸發展而成的。天元術是一元高次方程列方程的方法。天元術開頭處總要有“立天

元一為××”之類的話，這相當於現代初等代數學中的“設未知數x為××”。四元術是多元高次方程列方程和解

方程的方法，未知數最多時可至四個。四元術開頭處總要有“立天元一為××，地元一為○○，人元一為△△，物元一為**”，即相當於現代的“設x，y，z，為××，○○，△△，**”。天元術是用一個豎列的籌式依次表示未知數(x)的各次冪的係數的，而四元術則是天元術的推廣。按莫若為《四元玉鑑》所寫的序言所記述，四元式則是“其法以元氣居中，立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”，此即在中間擺入常數項(元氣居中)，常數項下依次列入x各次冪的係數。左邊列y，y2，y3，…各項係數，右邊為z，z2，z3，…各項係數，上邊為u，u2，u3，…各項係數，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各項係數依次置入相應位置中。例如：x+y+z+u=0。而(x y z u)2=A，即將(x+y Z+u)2=x2 y2+z2+u2+2xy+2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等記入相應的格子中，而將不相鄰的兩個未知數的乘積如2xu，2yz的係數記入夾縫處，以示區別。

(1)加、減：使兩個四元式的常數項對準常數項，之後再將相應位置上的兩個係數相加、減即可。

(2)乘：

(1)以未知數的整次冪乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，則等於以該項係數乘整個四元式各項

再將整個四元式下降，以x乘則下降一格，x2乘則下降二格。以y的各次冪乘則向左移，以z乘則右移，以u乘則上升。

(2)二個四元式相乘：以甲式中每項乘乙式各項，再將乘得之各式相加。

(3)除(僅限於用未知數的整次冪來除)：等於以該項係數除四元式各項係數之後，整個四元式再上、下、左、

右移動。

上述四則運算也就是莫若《四元玉鑑》序言中所説的“陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮”。在當時

中國數學尚缺少數學符號的情況下，朱世傑利用中國古代的算籌能夠進行如此複雜的運算，實屬難能可貴。

朱世傑四元術精彩之處還在於消去法，即將多元高次方程組依次消元，最後只餘下一個未知數，從而解決了整個方程組的求解問題。其步驟可簡述如下：

(1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才運元”一問，最後得出兩個二元二行式，這相當於求解或將其寫成更一般的形式其中A0，B1和A1，B0分別等於算籌圖式中的“內二行”和“外二行”，都是隻含z而不含x的多項式。朱世傑解決這些二元二行式的消去法即是“內二行相乘、外二行相乘，相消”。也就是F(z)=A0B1-A1B0=0。

此時F(z)只含z，不含其他未知數。解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可

求出x。

(2)二元多行式的消法不論行數多少，例如3行，則可歸結為以A2乘(2)式中B2x2以外各項，再以B2乘(1)式中A2x2以外各項，相消得C1x C0=0。(3)以x乘(3)式各項再與(1)或(2)聯立，消去x2項，可得D1x D0=0。

(4)(3)，(4)兩式已是二元二行式，依前所述即可求解。

(3)三元式和四元式消法

如在三元方程組中(如下列二式)欲消去y：

式中諸Ai，Bi均只含x，z不含y。(5)，(6)式稍作變化即有以A0，B0與二式括號中多項式交互相乘，相消得

C1y+C0=0。(9)(9)式再與(7)，(8)式中任何一式聯立，相消之後可得D1y+D0=0。(10)

(9)，(10)聯立再消去y，最後得E=0，(11)E中即只含x，z。再另取一組三元式，依法相消得F=0。(12)(11)，(12)只含兩個未知數，可依前法聯立，再消去一個未知數，即可得出一個只含一個未知數的方程，消去

法步驟即告完成。

以上乃是利用現代數學符號化簡之後進行介紹的，實際上整個運算步驟都是用中國古代所特有的計算工具算籌列成籌式進行的，雖然繁複，但條理明晰，步驟井然。它不但是中國古代籌算代數學的最高成就，而且在全世界，在13—14世紀之際，也是最高的成就。顯而易見，在一個平面上擺列籌式，未知數不能超過四元，這也是朱世傑四元術的侷限所在。在歐洲，直到18世紀，繼法國的E。貝祖(Béout，17779)之後又有英國的J。J。西爾維斯特(Sylvester，1840)和A。凱萊(Cay-ley，1852)等人應用近代方法對消去法進行了較全面的研究。 ^[1]