單複變函數

複變函數是實變函數的推廣。自變量和因變量均為復值的函數稱為複變函數。 ^[1] 

設

為一複數集，若按照某一規律，

內每一複數

都有一確定的複數

與之對應，則稱在

上確定了一單值複變函數

；若對於自變量

的一個值，可能有幾個或無窮多個

的值與之對應，則稱在

上確定了一個多值複變函數

。

稱為該函數的定義域，函數值

的全體所成的集

稱為函數

的值域。 ^[1] 

只含有一個自變量的複變函數稱為單複變函數（function of a complex variable），含有多於一個自變量的複變函數稱為多複變函數。 ^[1] 

通常所説的複變函數論，指的主要是關於單復變解析函數的理論，簡稱單復變。複變函數論歷史悠久，內容豐富，理論十分完美而且深刻，在許多其他數學分支以及力學、工程技術學科中有着廣泛的應用。 ^[1] 

複變函數的一般理論起源於與實際問題有關的研究工作。達朗貝爾在關於流體的研究中，考慮兩個實變數

的一個復值函數

並且研究在什麼條件下，當

趨於一點時，這個函數有導數，而且這個函數要與

所沿的路徑無關。為此只需將函數

看做是複函數

的函數

，它在域

內定義，就可得出結論：當

作為

的函數在

內可微，且滿足

時，函數

有導數。後來這個條件稱為柯西-黎曼條件。由條件（1）可推知

都滿足平面拉普拉斯方程

在這裏，假定了

有連續二階導數，所以

都是關於兩個實變數的調和函數。當柯西對一般的含有一個復變數的可導函數進行研究時，他知道函數

可以看做是兩個滿足條件（1）的調和函數，也可以看做是

的一個可導函數

。最後他決定採取第二個觀點，其原因之一是他考慮到函數的冪級數展式.他給出了一個函數

沿着複平面上一段曲線的積分的定義並證明了下列定理：如果一個函數

在複平面上的一個區域內有連續導數，而

為一簡單閉曲線，它和它的內部均位於區域

內，則

這個定理是柯西理論中的基本定理。根據這個定理他得出了一系列重要結果，其中一個是：如果一個函數

在一個區域

內有連續導數，那麼，在

的每一點a的鄰域內

可以展為

的冪級數。這個結果表示：具有連續導數的複變函數和在拉格朗日意義下的解析函數是相同的。另一個很重要的結果是留數定理。這個定理有廣泛的應用，它是柯西理論中的一項巨大成就。 ^[1] 

關於單複變函數的理論，黎曼(Riemann，(G.F.)B.)一方面採用了與柯西相同的觀點，另一方面也採用了將函數分成兩個調和函數的觀點。他對於調和函數進行了研究，並且認為他已經證明了下列定理：任給平面上的一個簡單閉曲線

，恆存在一個在

的內部的調和函數，它在

上取預先給定的連續變化的值。

不過外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))指出黎曼的證明中有一點並不顯然。後來阿達馬(Hadamard，J.(-S.))舉出了一個簡單的例子，肯定地説明了黎曼的證明是有問題的。雖然如此，黎曼的這項工作還是很有意義的.它引起了一系列的研究工作。黎曼從以上定理推出了一個關於共形映射的定理，後來經過施瓦茲(Schwarz，H.A.)及龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)等人的工作，這個定理可敍述如下：設

為

平面上的一個單連通區域，它的邊界多於一點，

為

內一點並且

為一實數，則存在唯一的一個在

內的單葉解析函數

將

映射為

平面上的單位圓

，並且滿足條件

這個定理稱為黎曼映射定理。複變函數的幾何理論即由此定理而產生。以上定理沒有涉及區域

的邊界與圓周

的對應。卡拉西奧多里(Carathéodory，C.)證明了：如果區域

的邊界為一簡單閉曲線

，那麼，曲線

上的點與圓周|w|=1上的點也一一對應。根據卡拉西奧多里的這個結果，可以得出上述黎曼認為已經證明了的關於調和函數的定理的一個嚴格證明。 ^[1]