名額分配

根據美國憲法，美國國會分參議院和眾議院，參議院中各州有等額議席，而眾議院“議員名額……將根據各州的人口比例分配”。這就是名額分配問題的緣起。美國憲法於1787年獲得通過，1788年生效，但從1790年以來的200多年間，怎樣操作才算公正、合理地按這一原則分配好名額，一直是美國政治家以及許多介人其中的科學家研究和爭議的問題。人們創立了許多方法，但沒有一種方法得到公認。

把這個問題數學化，則可作如下探討：設美國一共有s個州，眾議院一共設有h個議員席位。再設第i州有人口pi（i=1, 2,…, s），則全國總人口有P=p1+p2+…+ps，第i州的人口占全國總人口的比例為 。按上述憲法原則，第i州應有h個議員名額，記為qi=h，稱之為第i州的“份額”，則顯然有

q1+q2+…+qs=h。

但是一般地，qi不是整數，而議員名額卻必須是整數。怎麼辦？這就是名額分配問題的癥結所在。

用“四捨五入法”或“去尾法”或“進一法”對q取整數，都不行，因為這就會出現或者名額不夠，或者名額剩餘。

既然不能通過簡單的對份額取整完成名額分配，問題就成為：在眾議院席位數h，州數s，各州人口數pi（i=1, 2, 3,…, s）給定的條件下，求出各州的份額qi（i=1, 2,…, s）後，如何找出相應的一組整數a1，a2，…，as，使得

a1+a2+…+as=h，

讓第i州取得a i（i=1, 2, 3,…, s）個議員名額，並且“儘可能地”滿足美國憲法所規定的“按人口比例分配”的原則？這就是“名額分配問題”。從數學上説，稍加解釋，小學生也可明白，但其求解卻難倒了眾多的政治家和數學家！

美國第一任總統喬治·華盛頓時代的財政部長亞歷山大·漢密爾頓首先於1790年提出瞭解決名額分配問題的一種方法，1792年被美國國會通過，稱之為漢密爾頓方法。

這一方法規定如下操作程序：

（1）取各州的份額qi的整數部分[qi]（如qi=1.5，[qi]=1；qk=0.82，[qk]=0），先讓第i州擁有[qi]個議員名額。

（2）再看各州份額qi的小數部分。按從大到小的順序，把餘下的議員名額逐個分配給各相應的州，分完為止。具體做法是：小數部分（qi一[qi]）最大的州優先取得餘下名額中的一個，小數部分次大的州取得再餘下的名額中的一個……直到名額分完為止。

漢密爾頓方法看起來是相當公正、合理的，但它於1742年被美國國會通過後並未能馬上付諸實施。最先採用的是傑斐遜的方法。

傑斐遜方法是一種“除子方法”。在前面我們談問題的緣起時指出，問題的關鍵是：雖然有q1+q2+…+qs=h，但對qi以某種方式取整[qi]後，[q1]+[q2]+…+[qs]就不一定等於h了。傑斐遜認識到qi只有相對的意義，而不具有絕對的意義，因而，用一個正數λ去除所有的qi，得到 ，用代替原來的qi，其對相應的第i州來説表示“份額”的意義不變。這樣如果選取適當的λ，使 在某種取整數的方法（如四捨五入法、去尾法、進一法等）下得到的整數[ ]加起來後恰好等於h，則可把ai=[ ]作為第i州應得的議員名額。由於用正數λ除後才得出名額的，所以叫做“除子方法”。如果用“去尾法”取得整數[ ]，就叫做傑斐遜法。

傑斐遜法也有令人不能接受的地方。那就是它不能符合所謂“公平分攤”的原則。這個原則是：按常理，對某一個非整數份額qi，它所取的名額數ai應滿足[qi]<ai<[qi]+1（其中方括號僅表示用去尾法取整數）。但採用傑斐遜法，可產生“例外”，例如s=3，h=5，而q1=0.6， q2=0.5，q3=3.9，則顯然有q3<4，按“原則”，應有3<a3<4，但按傑斐遜法，取x=0.7，則有al=[ ]=0，a2=[ ]=0， a3=[ ]=5。

這種情況使美國國會在華盛頓總統否決漢密爾頓法50年後，重又接受了漢密爾頓法，並於1851年開始在美國實際使用。

從1880年，即美國眾議院正式採用漢密爾頓法的第50年開始，美國國會出現了關於漢密爾頓法的公正合理性的激烈爭論。其原因是1880年美國人口普查後，美國的一個州——亞拉巴馬州發現用漢密爾頓方法分配名額使自己吃了虧。後來，1890年和1900年美國人口普查後，緬因州和科羅拉多州也認為自己吃了虧，因而反對漢密爾頓方法。這就是因為產生了一系列的“悖論”。

（1）亞拉巴馬悖論。按常理，假定各州的人口比例不變，而眾議院議員席位由於某種原因增加了一席，那麼各州的議員名額或者不變，或者增加，無論如何不應減少，但是漢密爾頓法卻不能保證這一點。

當州數s和各州人口比例 不變，眾議院議員席位h增加反而導致某州議員名額減少，就稱之為“亞拉巴馬悖論”（因1880年該州最先遇到這種情況）。

（2）人口悖論。當h不變時，若各州人口有所增長，則即使第i州的人口增長率比第1州更大，有時也有可能第i州失去一個席位而第j州增加一個席位。這種情況被稱為人口悖論。

（3）新州悖論。設有一個新的州加入了美利堅合眾國（這在美國曆史上發生過數十次），則總人口增加，相應地眾議院席位也有所增加。這時原來某個州失去了一個席位，而另一個州增加了一席，雖然原來所有州的人口都沒有發生變化，這種情況被稱為新州悖論。

這些悖論都顯示出漢密爾頓法的不合理之處，因此，它於1910年被廢止。

漢密爾頓法不合理，以傑斐遜法為代表的各種除子方法也不盡如人意，怎麼辦呢？是否存在一種能使各方面都滿意的名額分配方法呢？美國使用的是數學家E．V．亨廷頓（Huntington）提出的幾種方法（1941年通過並被採用）。當然它們也不是沒有問題的。

兩位著名學者，美國的巴林斯基（M．Balinski）和揚（H．Young）在名額分配問題的研究中引進了公理化方法。即事先根據具體的現實問題給出一系列合理的要求，稱之為“公理”，然後用邏輯方法考察這些公理之間是否相容。如果不相容，則説明符合這些公理的對象並不存在。

巴林斯基和揚在1982年證明了關於名額分配問題的一個不可能定理，指出包括“不產生人口悖論”、“不違反‘公平分攤’原則”等在內的5條十分合理的公理不相容，即滿足這5條公理的名額分配方法並不存在。

但名額分配問題更廣一些，一般分配問題是一個有現實需要的問題，有相當廣泛的應用，如貨物、任務、人員、成本等的分配問題。怎樣儘可能合理地解決這個問題，是當代數學家正在研究的問題之一。