同方差性

同方差性有四個基本假設 ^[1]  ，假設一被稱為（White Noise Condition）白色噪音假設， 干擾項為No Autocorrelation;即誤差部分相互沒有關聯，假設迴歸式 y = α+βx+u, 其誤差項中，u1,u2各誤差之間沒有任何聯繫，即：COV（u1*u2）=0；假設二為干擾項具備同方差性或者等分散, 即誤差項與獨立變量（independent variable）之間相互獨立, 並且誤差項的分散(方差 Variance)必須等同，即Var(u|x)=σ^2；解釋變量之間不存在多重共線性；解釋變量是確定變量。

在滿足上述要求的前提下，OLS迴歸式的統計量才能夠同時滿足不偏性Unbaisedness和效率性Efficiency。所推定出來的線性迴歸式才能被稱為最好的不偏線性統計量（BLUE; best linear unbaised estimators)。

等方差性條件下不偏性和OLS斜率值的求證：

所有線性迴歸式可以表現為矩陣(Matrix)y=xβ+e 其中y為n*1, x為n*k, e為n*1。

根據OLS， S=∑e^2=∑e'*e. FOC β on S==> -2x'(y-βx)=0 ==> β=(x'x)^-1x'e=β+(x'x)^-1x'e

Unbiasedness,不偏性 ^[2] 

E(β) = β+E(x'x)^-1x'e)=β+E[E(x'x)^-1x'e|x)]=β+E((x'x)^-1x'E(e|x)]=β

最好的不偏性統計量（BLUE）

假設單純迴歸式y=α+βx+u滿足white noise condition的2個假設即，No autocorrelation和同方差性，以及Gauss Markov condition，β的分散可定義為Var(β^)=σ∑w^2. 假設有另一個統計量β~滿足線性式。 求證：Var(β^)<Var(β~)

β~=∑w~*y since β satisfies the condition of linear estimator. ==> β~=∑w~*（α+βx+u）=α∑w~+β∑w~*x+∑w~*u 為了滿足不偏性，這裏∑w~*x=1 由此可得出β~的方差：Var(β~)=σ^2∑w~^2。想要證明Var(β^)<Var(β~) 必須得出∑w~^2>∑w^2. 在要求不偏性的時候已經得出∑w~*x=1，所以可推定∑w~*w=1,進而得出 ∑w~^2-∑w^2=(∑w~^2-∑w^2)^2>0==>∑w~^2>∑w^2即Var(β^)<Var(β~)。

誤差項的同方差性檢驗一般運用E檢驗，即能量檢驗（Energy Test），計算概率分佈之間的統計學概念下的距離。

其他檢驗包括：Breush-Pagan檢驗 ^[3]  ，對平方後的誤差項運行一個輔助迴歸，保留被解釋的平方項的和，通過開方檢驗判斷誤差項是否具有異方差性。其替代檢驗：Koenker-Bassett檢驗則在樣本量較小時應用。

判斷同方差性實例：

用EVIEWS測定是否符合同方差（存在異方差Heteroskedasticity）- Heteroskedasticity test (White)

Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey