可數性

設(X，

)為拓撲空間，若X有一個可數基，則稱X為第二可數的。若對任意x∈X，鄰域系N(x)有一個可數基，則稱X為第一可數的。 ^[1] 

注：每個度量空間都是第一可數的；任一第二可數空間是第一可數的。 ^[1] 

性質1 設X是第一可數的，對任意x∈X，設{U_i}_i∈N是N(x)的可數基，則V₁=U₁，V₂=U₁∩U₂，一般地V_n=U₁∩…∩U_n，構成N(x)的可數基，符合V₁⊃V₂⊃…⊃V_n⊃…，即N(x)有一個下降的或遞縮的可數基。 ^[1] 

性質2 設X是第一可數空間，A⊂X，點x∈X為A的聚點的充要條件是A\{x}中有序列收斂於x。 ^[1] 

注：空間X的任一有序可數子集{x_n|n∈N}稱為X中一個序列，設x∈X，若對任意U∈N(x)，存在正整數M使得對任意n≥M有x_n∈U，則稱序列{x_n}收斂於x，若這樣的x存在，則稱{x_n}是收斂的。

性質3 每個第二可數空間是可分的。 ^[1] 

注：設A是空間X的任一子集，若Ā=X，則稱A是X的稠子集，或稱A稠於X。若X有一個可數的稠子集，則稱X是可分的。

性質4 每一個第二可數空間都是林德洛夫的，每個林德洛夫空間的閉子空間也是林德洛夫空間。設ℬ是空間X的任一基，若ℬ的元構成的A的覆蓋有可數子覆蓋，則子空間A⊂X是林德洛夫空間。若拓撲空間X的每個子空間都是林德洛夫空間，則X的每個不可數子集A中都含有A的聚點。 ^[1] 

注：若空間X的每個開覆蓋均有可數的子覆蓋，稱X是林德洛夫空間。

性質5 對度量空間而言，第二可數、可分、林德洛夫是等價的。 ^[1] 

性質6 設X，Y為拓撲空間，f：X→Y為連續滿映射，若X是第二可數的(第一可數的、可分的、林德洛夫的)，則Y也是第二可數的(第一可數的、可分的、林德洛夫的)。 ^[1]