古諾模型

古諾模型是由法國經濟學家安東尼·奧古斯丁·庫爾諾於 1838 年提出的。它是納什均衡應用的最早版本。古諾模型通常被作為寡頭理論分析的出發點。古諾模型是一個只有兩個寡頭廠商的簡單模型，該模型也稱作 “雙寡頭模型”，或雙頭壟斷理論。該模型闡述了相互競爭而沒有相互協調的廠商的產量決策是如何相互影響的，從而產生一個位於完全競爭和完全壟斷之間的均衡結果。古諾模型的結論可以很容易地推廣到三個或三個以上的寡頭廠商的情況中去。

設市場上有 A、B 兩個廠商生產和銷售相同的產品，它們的邊際生產成本為 C₁ 和 C₂，它們共同面臨的市場的需求曲線是線性的，即統一市場價格

P = P₀ – λ (Q₁ + Q₂). ––– (1)

其中 Q₁ 和 Q₂ 為 A、B 兩個廠商的產量。於是 A、B 兩個廠商的利潤

π₁ = (P – C₁) Q₁, ––– (2)

π₂ = (P – C₂) Q₂. ––– (3)

將 (1) 式分別代入 (2) (3) 式可得出利潤與產量的相關函數：

π₁(Q₁,Q₂) = (P₀ – C₁) Q₁ – λ (Q₁²+ Q₁Q₂),

π₂(Q₁,Q₂) = (P₀ – C₂) Q₂ – λ (Q₂²+ Q₁Q₂).

設每個廠商 A、B 根據自身利潤最大化原則來調整產量，於是有

∂π₁ / ∂Q₁ = P₀ – C₁ – λ (2Q₁ + Q₂) = 0,

∂π₂ / ∂Q₂ = P₀ – C₂ – λ (Q₁ + 2Q₂) = 0.

解得均衡策略 Q₁ = (P₀ – 2C₁ + C₂) / 3λ，Q₂ = (P₀ + C₁ – 2C₂) / 3λ。生產成本高低不同的企業可以共存，只是成本低者所佔市場份額更大。而共謀策略下只會讓生產成本低的企業生產，以最大化總利潤。如果 C₁ = C₂ = C，則 Q₁ = Q₂ = (P₀ – C) / 3λ，行業總產量為完全競爭產量 (P₀ – C) / λ 的 2 / 3 倍，而共謀均衡為 1 / 2 倍。雙寡頭比完全壟斷要多生產出一些產品，使價格降低而有利於消費者。

一般地，如果有 m 家廠商，每個廠商生產成本相同，則每個廠商的產量為完全競爭產量 (P₀ – C) / λ 的 1 / (m+1) 倍，故行業總產量為完全競爭產量的 m / (m+1) 倍，隨 m 的增大而越來越接近於完全競爭均衡。若各廠商生產成本不同，哪些高生產成本的廠商會退出市場，哪些低生產成本的廠商能存活，各自所佔市場份額有多少，都可以通過古諾模型來計算。

假定兩個寡頭分別用 40 元的固定成本生產可以相互替代並且有差別的產品，並假定不存在可變成本，邊際成本為 0，兩個寡頭面臨的市場需求數如下：

D₁：Q₁ = 24 – 4P₁ + 2P₂，

D₂：Q₂ = 24 – 4P₂ + 2P₁。

於是寡頭 1 的利潤為

π₁ = P₁Q₁ – 40 = 24 P₁ – 4P₁² + 2 P₁P₂ – 40，

令利潤最大化

dπ₁ / dP₁ = 24 – 8P₁ + 2P₂ = 0，

解得寡頭 1 的反應函數 P₁ = 3 + P₂ / 4。同理，寡頭 2 的反應函數 P₂ = 3 + P₁ / 4。

因此解得均衡價格 P₁ = P₂ = 4，均衡產量 Q₁ = Q₂ = 16，均衡利潤 π₁ = π₂ = 24。

寡頭間的這種無勾結行為而達到的這種均衡稱為古諾均衡。寡頭間若存在着勾結，以求得聯合的利潤最大化，所得到的均衡為共謀均衡。可以計算出共謀均衡點 P₁ = P₂ = 6，Q₁ = Q₂ = 12，π₁ = π₂ = 32，利潤要高於古諾均衡。