-
友矩陣
鎖定
友矩陣亦稱伴侶矩陣，矩陣標準形理論中一類重要的矩陣，是數域F上首項係數為1的多項式所對應的特定形式n階矩陣。其主對角線上方或者下方的元素均為1，而主對角線元素為零；最後一行或第一行的元素可取任意值；而其餘元素均為零，友矩陣的特徵根多項式是首一多項式。
- 中文名
- 友矩陣
- 外文名
- companion matrix
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 伴侶矩陣
- 相關概念
- 最小多項式、特徵多項式等
友矩陣定義
設
是數域F上的首項為1的多項式，則n階矩陣：
友矩陣相關定理
友矩陣定理1
每一個首1多項式既是它的友矩陣的最小多項式，又是它的友矩陣的特徵多項式。
如
的極小多項式的次數為n，那麼與每一個特徵值對應的最大的Jordan塊就是與每一個特徵值對應的唯一的Jordan塊．這樣的矩陣是無損的，特別地，每一個友矩陣都是無損的，當然，不一定每個無損的矩陣
都是友矩陣，但是A與A的特徵多項式的友矩陣C有同樣的Jordan標準型(與每一個不同的特徵值
對應的只有一個分塊，所以A與C相似。
[2]
友矩陣定理2
設C為多項式p(x)的友矩陣，
是C的特徵值，則
是C的對應於
的特徵向量。
友矩陣定理3
友矩陣定理4
設
有極小多項式
以及特徵多項式
，則下面諸結論等價：
(a)
的次數為n；
(b)
=
；
(c)A是無損的；
