協變張量

僅討論笛卡兒右手直角座標系。

舊座標系：

單位基矢量：

；

新座標系：

單位基矢量：

，如圖1（a，b）所示 ^[1]  。

新舊基矢量夾角的方向餘弦：

座標系的(標架)變換關係(舊錶新)：

其中

為變換系數矩陣，（2）也可表示為

座標系的(標架)變換關係(新表舊)：

其中

為矩陣(3)的逆，(4)也可表示為

標量在座標變換時其值保持不變，即滿足

如數學中的純數，物理中的質量、密度、温度等。

問題：時間是否標量?(答案：是標量，可以用一個數字表示。)

注 標量是0階張量。

矢量在座標變換時一般要改變，滿足以下變換關係的三個量

定義一個矢量：

設

為任意矢量，其在新、舊座標系下的(協變)分量分別為

和

，即

，所以

得

而

得

可見矢量的變化規律與座標架變換(2)一致，故為協變。代人上式(換啞指標)，

得

比較上式兩邊，得

即該變換是正交的。

將矢量定義加以推廣：(增加指標和相應的變換系數)

對於直角座標系

，有9個量

按照(協變)關係

變換成

，中的9個量

，則此9個量定義一個二階(協變)張量。

各階(協變)張量小結：

——零階張量(標量)

——一階張量(向量)

——二階張量

——三階張量

——n階張量

二階張量的另一種定義：

二階張量T是把任意一個矢量

變換成另一個矢量b的線性變換，表達式為

而且具有下列線性性質：

加法：

標乘：

(其中

) ^[1]  。

向量空間的張量代數(tensor algebra of vector space)是由向量空間與其對偶空間的張量積直和所構成的代數。向量空間V的

型張量空間

定義為

其中

，

是V的對偶空間，對於這樣一些向量空間取直和

則在張量積的運算之下，T(V)成為一個代數，稱為向量空間V的張量代數 ^[2]  。

T(V)中的元素稱為張量，它是各個

中的元素關於R的有限線性組合，

中的元素稱為r階反變張量，

中的元素稱為s階協變張量，

中的元素稱為

階齊次張量。

設

與

分別是V和V*彼此對偶的基底，則

是

的基底。因此，

型張量x可以惟一地表成

其中

稱為張量x在上述基底下的分量。

處理張量時，通常採用愛因斯坦的和式約定：在一個單項表達式中出現重複的上、下指標，表示該式關於這個指標在它的取值範圍內求和，而略去和號不寫，採用這個約定，上述張量x可寫成

設x是

型張量，y是

型張量，則它們的積

是

型張量 ^[2]  。