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半素理想
鎖定
- 中文名
- 半素理想
- 外文名
- semiprime ideal
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 環與代數(根論)
- 相關概念
- 理想、半素環等
半素理想定義
半素理想相關概念及定理
定義2設M是半環S的一個子集，若對任意
，存在
使得
，稱M為S的一個n-系統。
命題3設P是半環S的理想，則P是半素的當且僅當
是S的一個n-系統。
定理4設P是半環S的理想，則下列等價：
1) P是半素理想；
2) 設
，若
，則
；
3)
必推得
，其中(a)為由a生成的主理想；
4)
必推得
，其中R是S的右理想；
5)
必推得
，其中L是S的左理想。
定義5設P是半環S的理想，若對任意
，由
必推得
，稱P為S的完全半素理想。
易知，若P是半環S的完全半素理想，則由
必推得
。
定理6設P是半環S的素理想，則P是完全素理想的充分必要條件是P是完全半素理想。
推論7設S是交換半環，則S的素理想、完全素理想與完全半素理想三個概念是一致的。
定理8設N是半環S的理想，則
1) 若P是S的素理想，則
是N的素理想；
2) 若P是S的半素理想，則
是N的半素理想。
證明：1) 記
，則M是N的理想。設
，若
，則
，於是
，從而
或
，進而，
或
，得到
或
，推得
或
，這樣
或
，即M是N 的素理想。
2) 記
，設
，若
，則
，於是，
，得
，進而
，從而
，所以
，即
，故M是N的半素理想。
定義9若{0}是半環S的素(半素)理想，則稱S為素(半素)半環。
定理10設P是半環S的強理想，則下列等價：
1) P是素理想；
2)
是素半環；
3)
中任意兩個非零理想之積非零。
定理11設P是半環S的強理想，則下列等價：
1) P是半素理想；
2)
是半素半環；
3) 若
是
的非零理想，則
；
4)
不含非零冪零理想；
