半不變量

半不變量，又稱“累積量”。1889年由蒂勒(Thiele)引進的，早期習慣使用的術語。累積量的名稱，是科尼什(Conish)和費歇耳(Fisher)於1937年引進，較通用 ^[1]  。

累積量亦稱半不變量。隨機變量的一種數字特徵，其作用類似於矩。設

是隨帆變量X的特徵函數。稱

為X的累積量，如果X有矩母函數

，則

只要X有r階矩

，則其

階累積量也存在。特別，

。

累積量不能由分佈直接計算，一般通過隨機變量的特徵函數、矩母函數或

來計算。累積量，與原點矩

有如下關係：

與中心矩

有如下關係：

。

累積量的名稱，是因為它具有如下性質：獨立隨機變量之和的累積量，等於各隨機變量的累積量相加。半不變量的名稱，是由於它的如下性質：累積量

與計量的基點

無關，且當尺度增大b倍時，

的值增大

倍，即

的

階累積量與

無關，且是X的r階累積量的

倍 ^[1]  。

設在空間直角座標系中二次曲面的方程

經任意的直角變換後，二次曲面方程變為

設

經過任意直角座標變換後變成

。由

的係數組成的一個函數

，如果和由

的對應的係數所組成的相同函數

的值總是相等的，即

則這個函數稱為

的在直角座標變換下的不變量(簡稱不變量)，如果這個函數

的值，只是經過轉軸變換不變，那麼這個函數叫做二次曲面在直角座標變換下的半不變量 ^[2]  。

研究下面函數。

對於二次曲面，我們可以證明

是不變量，因而特徵方程的根經過直角座標系變換後也是不變的。

是半不變量，有着下面的一些定理。

定理1

是二次曲面在空間直角座標變換下的四個不變量，

是兩個半不變量。

推論 在直角座標變換下。二次曲面的特徵方程不變，從而特徵根也不變。

定理2

是第Ⅴ類二次曲面在直角座標變換下的不變量，而

是第Ⅲ，第Ⅳ與第Ⅴ類二次曲面在直角座標變換下的不變量 ^[2]  。