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動量矩定理
鎖定
- 中文名
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動量矩定理
- 外文名
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theorem of momentum
- 適用領域
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動力學
- 所屬學科
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物理
- 所屬學科
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數學
- 屬 性
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數學術語
- 相 關
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質點系、動量矩.衝量矩
- 分 類
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數學定理
動量矩定理基本定理
動量矩定理積分形式
設質點系中任一質點的
質量為m
i,受外力的合力
和內力
的合力作用,
加速度為
,沿曲線軌跡運動到Q點時的
速度為
(見圖)。
公式
根據牛頓第二定律,有:
公式
公式
因
公式
,
代入式(2)可得:
公式
。
上式可以改寫為:
公式
式中為質點i的動能;和分別為質點i上
外力和
內力的元功。對於整個
質點系則應為:
公式
式中為質點系的總動能。對式(4)進行積分,可得:
公式
式中T1,為
質點系在過程開始時的動能;T2為質點系在過程結束時的動能。
式(5)是以積分形式表示的質點系的
動能定理,它表明:質點系的總動能在某個力學過程中的改變量,等於質點系所受的諸外力和諸內力在此過程中所做功的總和。
動量矩定理微分形式
將式(4)兩邊除以dt,得:
公式
式(6)是以微分形式表示的質點系的
動能定理,它表明;質點系的總動能隨時間的變化率等於
質點系所受諸外力和諸內力在單位時間內所作功的總和。
質點是質點系的一個
特殊情況,故動能定理也適用於質點。但是,對於
質點和剛體,諸內力所做功的總和等於零,因為前者根本不受
內力作用,而
後者的內力則成對出現,其大小
相等,方向相反,作用在同一直線上,且剛體上任兩點的
距離保持不變,故其內力作功總和等於零。
[1]
動量矩定理其它相關
在某力學過程的
時間間隔內,
質點系對某點動量矩的改變,等於在同一時間間隔內作用於質點系所有外力對同一點的
衝量矩的
矢量和。
即在某一時間間隔內,
剛體對
z軸
動量矩(
Izω)的改變,等於在同一時間間隔內作用於剛體上所有外力對
z軸的
衝量矩的代數和。
對質心使用
動量矩定理時,無論相對
動量的
動量矩定理還是絕對動量的動量矩定理,都同對
固定點的動量矩
定理具有相同的形式;對速度瞬心和速度方向與質心的相對
速度相平行的動點,使用絕對動量的動量矩定理以及對
加速度瞬心和加速度方向與質心的相對位矢相平行的動點使用相對動量的
動量矩定理時,也可得到同對固定點的動量矩定理具有相同的形式;對質心和速度瞬心以及速度方向與質心的相對速度相垂直的動點的
動能,都與對固定點的動能形式相同;對質心和
加速度瞬心的動能定理與對固定點的動能定理也具有
相同的表達形式
[2]
。
- 參考資料
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1.
戴宗信.中國大百科全書:中國大百科全書出版社,1987
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2.
桂學同. 質點系動力學基本定理的討論[J]. 山東師範大學學報(自然科學版),1984(01):121-132.