剩餘平方和

根據最小二乘法原理，平方和

稱為剩餘平方和或殘差平方和，它表明除x對y的線性變化之外的一切因素(包括x對y的非線性影響及測量誤差等)對y的離差的影響。 ^[1] 

迴歸分析表明，因變量y的實際值(觀察值)有大有小、上下波動，對每一個觀察值來説，波動的大小可用離差(

)來表示。離差產生的原因有兩個方面：一是受自變量

變動的影響；二是受其他因素的影響(包括觀察或實驗中產生的誤差的影響)。n個觀察值總的波動大小用總離差平方和

表示。

由圖1可以看出，每個觀察點的離差可以分解為兩部分，即

其中，

為剩餘離差；(

為迴歸離差。

將上式兩邊平方，然後對所有的n求和，則有

式中，交錯的乘積項等於零，因而總離差平方和為

即：

剩餘平方和又稱殘差平方和，它反映了自變量

對因變量

的線性影響之外的一切因素(包括

對

的非線性影響和測量誤差等)對因變量

的作用。迴歸平方和表示在總離差平方和中，由於

與

的線性關係而引起因變量

變化的部分。

上式可寫成

其中

每個平方和都有一個自由度同它相聯繫。正如總離差平方和可以分解成剩餘平方和Q與迴歸平方和U兩部分一樣，總離差平方和的自由度

也等於剩餘平方和的自由度

與迴歸平方和的自由度

之和，即

其中

在總離差平方和

中，Q越大就意味着U越小，U越小表示變量間線性相關性越低，當且僅當b=0時，U是最小的。可見，要檢驗總體兩變量間是否真正線性相關，可以檢驗總體迴歸係數b是否等於零。

①提出零假設和備擇假設：

②當x與y有線性關係時，可以用F統計量檢驗零假設

。

其中，

表示第一自由度為1，第二自由度為

的F分佈。F檢驗是檢驗迴歸方程是否真正線性相關的一種方法，它是建立在對總離差平方和分解的基礎上進行的。

這時，若給定顯著性水平

，計算F值與查表得到的F值比較(

一般取0.05，0.01等，1-

表示檢驗的可靠度)。如果

，則稱變量x與y沒有明顯的線性關係，接受

，説明迴歸方程不顯著；如果

，則拒絕

,説明x與y有顯著的線性關係。 ^[2]