剛體平面運動

在剛體運動的過程中，如果剛體內部任意點與某固定的參考平面的距離始終保持不變，則稱此運動為剛體的平面運動。例如車輛在作直線運行時，對於垂直於地面的平面，車輛的車身或車輪上任意點，到該平面的距離保持不變。

式中為剛體繞x′y′z′軸的轉動慣量；為剛體繞通過定點O的某一瞬時轉軸轉動的角速度矢量ω在x′y′z′軸上的投影；為所有外力對O點的力矩的矢量和M在x′y′z′軸上的投影。將歐拉動力學方程同歐拉運動學方程（見歐拉角）結合在一起，就構成求解剛體定點轉動的封閉的運動微分方程組。它是由6個一階非線性微分方程組成；從中消去ω′x、ω′y、ω′Z，可得到對歐拉角θ、ψ、φ的3個二階非線性微分方程。尋求此運動微分方程組的完全積分，一般説來非常困難。如果Mx'=My'=Mz'=0，則剛體繞定點的運動稱為純慣性運動，可以徹底分析求解。對有外力矩作用的一般情況，剛體的運動非常複雜，僅在剛體的慣量橢球迴轉對稱，且初始狀態有繞旋轉軸的高速自轉，從而具有大的自轉角動量情況下，剛體繞定點的受迫運動才呈現較簡單的陀螺運動規律。對剛體在重力作用下繞定點轉動的問題曾進行過長期研究。要找到足夠的積分組來一般性地求解這種簡單問題，只有在三種（即歐拉、拉格朗日和柯娃列夫斯卡婭）特殊情形下才有可能。

●保持距離不變。

●只要知道不共線的3個點A、B、C在變換m下的象A′、B′、C′，m就可以確定下來。

●平面剛體運動m：平面α→平面α將平面α內的直線映成直線，射線映成射線，線段映成等長的線段。

●在平面剛體運動m：平面α→平面α下，正n邊形的大小和形狀保持不變。