分配格

分配格是格論中重要的一類格，設L是格，對任意x，y，z∈L，若下列條件之一成立：

L₆　(x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)=(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x)(自對偶中值定律);

L_6′　x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z);

L_6"　x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z) (分配律);

L_6'''　(x∨y)∧z≤x∨(y∧z);

則稱L為分配格，L_6′和L_6"是格論中最重要的恆等式，稱為分配恆等式或分配律，它們是戴德金(J.W.R.Dedekind)研究數域理想時發現的，格L是分配的當且僅當L不含菱形格和五邊形格。1951年，肖蘭德(M.Sholander)用兩個恆等式：x∧(x∨y)=x和x∧(y∨z)=(z∧x)∨(y∧x)表徵了分配格。分配格的對偶格、子格、直積仍是分配格。分配格的理論是格論的起源和基礎，它對格論的研究、發展和應用起了重大的作用 ^[1]  。

定義 設S是格，如果格S中的運算∨和∧滿足分配律，即對任意a，b，c∈S，有

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)，

則稱S為分配格 ^[2]  。

例1 設S是一個集合，則<P(S)，∪，∩>是由格<P(S)，⊆>所誘導的代數系統。由集合的並對交和交對並都適合分配律知，格<P(S)，⊆>是分配格 ^[3]  。

例2 如圖2所示的兩個格都不是分配格。

這是因為圖2(a)中，b∨(c∧d)=b∨e=b，而(b∨c)∧(b∨d)=a∧a=a，

所以 b∨(c∧d)≠(b∨c)∧(b∨d)。

在圖2(b)中，c∧(b∨d)=c∧a=c，而(c∧b)∨(c∧d)=e∨d=d，

所以 c∧(b∨d)≠(c∧b)∨(c∧d)。

應該注意的是，在分配格的定義中，必須是對任意的a，b，c∈S都要滿足分配

律。因此，決不能因驗證格中的某些元素滿足分配等式就斷定這個格是分配格。

如圖2(b)所示的格雖不是分配格，但也有

d∧(b∨c)=d∧a=d=e∨d=(d∧b)∨(d∧c)

b∧(c∨d)=b∧c=e=e∧e=(b∧c)∨(b∧d)。

圖2給出的兩個具有五個元素的不是分配格的格是很重要的，因為可以證明如下的結論：一個格是分配格的充要條件是該格中沒有任何子格與圖2給出的兩個五元素中的任何一個同構 ^[3]  。

分配格有類似模格的判定條件 ^[2]  。

定理1 一個格S是分配格，當且僅當S中不含有與鑽石格或五角格同構的子格。

定理2 每個鏈是分配格。

證明設偏序集(S，≼)是鏈。先證明(S，≼)是格。

任取a，b∈S，根據鏈的定義，S中任意兩個元素都有偏序關係，即a≼b或b≼a。不妨設a≼b，則a∨b=b，a∧b=a，所以a∨b∈S，a∧b∈S，從而(S，≼)是格。

下面證明(S，≼)是分配格。任取a，b，c∈S，只要討論以下兩種情況：

(1)b≼a且c≼a。

在此情況下，有b∨c≼a，b∧c≼a，因此a∧(b∨c)=b∨c，a∨(b∧c)=a。又因為b≼a，c≼a，所以a∧b=b，a∧c=c，a∨b=a，a∨c=a，從而(a∧b)∨(a∧c)=b∨c，(a∨b)∧(a∨c)=a∧a=a。於是有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨C)。

(2)a≼b或a≼c。

在此情形下，有a≼b∨C。不妨設a≼b，則a∧(b∨c)=a，且a∧b=a，於是有(a∧b)∨(a∧c)=a∨(a∧c)=口，從而a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)。又由a≼b可得a∨b=b，a∧b=a，從而(a∨b)∧(a∨c)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=a∨(b∧c)。

綜上所述，(S，≼)是分配格。

定理3 設S是一個分配格，那麼，對於任意的a，b，c∈S，如果有a∨b=a∨c和a∧b=a∧c成立，則必有b=c。

證明:由於S是分配格，且已知a∨b=a∨c，a∧b=a∧c，因此b=b∧(a∨b)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c)=(a∧c)V(b∧c)=(a∨b)∧c=(a∨c)∧c=c。即有b=c，定理得證。

定理4 分配格必定是模格。

證明設S是一個分配格。對於任意的a，b，c∈S，如果b≼a，則a∧b=b。因此 ^[2] 

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)=b∨(a∧c)，從而S是模格。