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分支限界法
鎖定
分支限界法常以廣度優先或以最小耗費(最大效益)優先的方式搜索問題的解空間樹。
在分支限界法中,每一個活結點只有一次機會成為擴展結點。活結點一旦成為擴展結點,就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中,導致不可行解或導致非最優解的兒子結點被捨棄,其餘兒子結點被加入活結點表中。
此後,從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點,並重覆上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所需的解或活結點表為空時為止。
- 中文名
- 分支限界法
- 外文名
- Branch and BoundMethod
- 方 式
- 廣度優先
- 形 式
- 最小耗費(最大效益)優先
- 性 質
- 解空間樹
- 學 科
- 數理科學
- 常見方法
- 隊列式(FIFO)分支限界法、優先隊列式分支限界法
分支限界法常見兩種方法
(1)隊列式(FIFO)分支限界法
按照隊列先進先出(FIFO)原則選取下一個節點為擴展節點。
(2)優先隊列式分支限界法
按照優先隊列中規定的優先級選取優先級最高的節點成為當前擴展節點。
分支限界法方法區別
分支限界法與回溯法的不同
(1)求解目標:回溯法的求解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解,而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束條件的一個解,或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優解。
(2)搜索方式的不同:回溯法以深度優先的方式搜索解空間樹,而分支限界法則以廣度優先或以最小耗費優先的方式搜索解空間樹。
分支限界法解空間樹
解空間樹的動態搜索
(3)分支限界法首先確定一個合理的限界函數,並根據限界函數確定目標函數的界[down, up];然後按照廣度優先策略遍歷問題的解空間樹,在某一分支上,依次搜索該結點的所有孩子結點,分別估算這些孩子結點的目標函數的可能取值(對最小化問題,估算結點的down,對最大化問題,估算結點的up)。如果某孩子結點的目標函數值超出目標函數的界,則將其丟棄(從此結點生成的解不會比如今已得的更好),否則入待處理表
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分支限界法設計思路
設求解最大化問題,解向量為X=(x1,…,xn),xi的取值範圍為Si,|Si|=ri。在使用分支限界搜索問題的解空間樹時,先根據限界函數估算目標函數的界[down, up],然後從根結點出發,擴展根結點的r1個孩子結點,從而構成分量x1的r1種可能的取值方式。
對這r1個孩子結點分別估算可能的目標函數bound(x1),其含義:以該結點為根的子樹所有可能的取值不大於bound(x1),即:
bound(x1)≥bound(x1,x2)≥…≥ bound(x1,…,xn)
若某孩子結點的目標函數值超出目標函數的下界,則將該孩子結點丟棄;否則,將該孩子結點保存在待處理結點表PT中。
分支限界法搜索策略
在當前節點(擴展節點)處,先生成其所有的子節點(分支),然後再從當前的活節點(當前節點的子節點)表中選擇下一個擴展節點。為了有效地選擇下一個擴展節點,加速搜索的進程,在每一個活節點處,計算一個函數值(限界),並根據函數值,從當前活節點表中選擇一個最有利的節點作為擴展節點,使搜索朝着解空間上有最優解的分支推進,以便儘快地找出一個最優解。分支限界法解決了大量離散最優化的問題
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- 參考資料
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- 1. Ruben Menke,Edo Abraham,Panos Parpas,Ivan Stoianov. Exploring Optimal Pump Scheduling in Water Distribution Networks with Branch and Bound Methods[J]. Water Resources Management,2016,30(14):.
- 2. 費亭. 基於分支限界法的多核系統實時多任務映射方法研究[D].廣東工業大學,2016.
- 3. Satafa Sanogo,Frédéric Messine. Design of space thrusters: a topology optimization problem solved via a Branch and Bound method[J]. Journal of Global Optimization,2016,64(2):.