分式環

在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域。

若以交換幺環中所有非零因子為乘性子集，則全分式環。 ^[1] 

典型的例子是有理數域之於整數環。

從整數環Z出發造有理數域Q(並將 Z 嵌入 Q) 的方法毫無困難地可以推廣到任意整環 A 上去從而得到 A 的分式域。這個造法在於選取形如(a, s) 的一切有序對的集合, 其中 a, s, ∈ A 而 s ̸= 0 並在這個集合中引進等 價關係:

(a,s) ≡ (b,t) ⇔ at−bs = 0.

因為在驗證這個關係的傳遞性時, 要用消去律, 這就説明要利用 A 中不存在零因子這一事實, 所以這個造法僅當 A 是整環才行得通。然而這個方法可以 被推廣如下:

設 A 是任意環。A 的乘法封閉子集指的是這樣的一個自己 S ⊂ A, 它 包含 1 而且它對於乘法是封閉的。換句話説, S 是 A 乘法半羣的子半羣。在A × S 上按以下方法定義一個等價關係:

(a,s) ≡ (b,t) ⇔ (at − bs)u = 0.對於某個u ∈ S.

顯然, 這個關係是自反的, 對稱的, 為了驗證傳遞性, 假設 (a,s) ≡ (b,t) 和(b, t) ≡ (c, u), 那麼在 S 中存在着元素 v, w 使得 (at−bs)v = 0, (bu−ct)w = 0. 從這兩個方程中消去 b, 得到 (au − cs)tvw = 0。因為 S 是乘法封閉的, 所 以 tvw ∈ S. 因此 (a, s) ≡ (c, u)。這樣我們就有了一個等價關係。將 (a, s)所屬的等價類記作 a/s, 並設 S−1A 是所有等價類所組成的集合。在“分數”a/s 上按初等代數的公式

(a/s) + (b/t) = (at + bs)/st,(a/s)(b/t) = ab/st,

定義加法和乘法, 就在 S−1A 上引進了一個環同構。

註記: 如果 A 是整環而 SA {0}, 那麼 S−1A 就是 A 的分式域。環 S−1A 叫做 A 對於 S 的分式環。