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分塊矩陣
鎖定
分塊矩陣是高等代數中的一個重要內容，是處理階數較高的矩陣時常採用的技巧，也是數學在多領域的研究工具。對矩陣進行適當分塊，可使高階矩陣的運算可以轉化為低階矩陣的運算，同時也使原矩陣的結構顯得簡單而清晰，從而能夠大大簡化運算步驟，或給矩陣的理論推導帶來方便。有不少數學問題利用分塊矩陣來處理或證明，將顯得簡潔、明快。
分塊矩陣定義
將一個矩陣用若干條橫線和豎線分成許多個小矩陣，將每個小矩陣稱為這個矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。
例如，
其中E1，E3分別表示1階、3階單位矩陣，O表示1×3的零矩陣，而
。
同一個矩陣可以有多種不同的分塊方法，從而形成不同的分塊矩陣。例如上例的矩陣也可分成也可分成
其中E2表示2階單位矩陣，O表示2階零矩陣，而
。
分塊矩陣運算規則
分塊矩陣加法
設
，
，用同樣的方法對A，B進行分塊，即
，
為同型矩陣，則
。
分塊矩陣數乘
設
，k是任意數，定義分塊矩陣
與k的數乘為
。
分塊矩陣乘法
設A是
階矩陣，B是
階矩陣，即A的列數=B的行數，分塊
，
，即A的列分塊法=B的行分塊法。
則A與B的乘積
是
階分塊矩陣，
分塊矩陣轉置
設矩陣
是
階分塊矩陣，
，則
。
分塊矩陣特殊分塊矩陣
分塊矩陣分塊對角矩陣
設A為n階方陣，若A的分塊矩陣在非主對角線上的子塊皆為零矩陣，且在主對角線上的子塊都是方陣，即
性質：
①
；
②若
，則A可逆，且
；
③同結構的準對角矩陣的和、差、積、數乘及逆仍是準對角矩陣，且運算表現為對應子塊的運算。
分塊矩陣分塊上下三角矩陣
對方陣進行分塊後，主對角線上的子塊矩陣都是方陣，主對角線以下（以上）的子塊矩陣都是零矩陣，即
性質：
①同結構的分塊上（下）三角形矩陣的和（差）、積（若乘法運算能進行）仍是同結構的分塊矩陣。
② 數乘分塊上（下）三角形矩陣也是分塊上（下）三角形矩陣。
③ 分塊上（下）三角形矩陣可逆的充分必要條件是的主對角線子塊都可逆；若可逆，則的逆陣也是分塊上（下）三角形矩陣。
④ 分塊上（下）三角形矩陣對應的行列式：
。
