函數思想

函數思想作為“和”的思想理論體系下的三大理論思想之一，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思維策略。

函數思想體現了：在解決“數學型”問題中的一種思維策略。

具體來説，函數描述了自然界中數量之間的關係，函數思想通過提出問題的數學特徵，建立函數關係型的數學模型，從而進行研究。它體現了“聯繫和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數（即“規定思想”）從而利用函數的性質（已知+未知+規定思想）解題。經常利用的性質是：f(x)、x的單調性、奇偶性、週期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。

在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯繫，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。

在經過歸納總結後，科學家們用簡潔的一個公式描述了它的性質：“已知+未知+規定思想”。“已知”，就是指“定量”；而“未知”則是指“變量”；至於“規定思想”則是，人們根據事物的規律，人為的構造的一種客觀函數關係去解決問題的一種策略（人為的因素造就一個自我的空間——規定思想）。

以無限為有限。

在人類長期運用函數思想去解決問題的發展過程中，人們不斷注意到用函數解決問題後都有一個共同特點，或説是一種共同的“指向” ，那便是，它們總是用短小而有限的公式長度去描述一個有着無限數據的事物（變量可以無限的更換，公式就會有無數的值）。

偉大領袖 毛澤東曾説過：“世間的萬事萬物都是本同一類的。”改變世界武術史的偉大的哲學家、武術家、功夫巨擘李小龍也曾這樣描述武術的最高境界：以無法為有法，以無限為有限。

在我讀高中時，一道複雜的數學題使我研究了三天才將其原始答案更加簡潔化，那道題中所描繪的是一個立體圖形，但它卻由一個函數公式表示，並且裏面有兩個變量，並非一般的題型。研究後我發現要想畫出其圖形必須先定義其中一個變量，待畫出其規律圖形後，再使它變回變量然後去定義另一個變量，並畫其規律圖形。結果我發現它是一個DNA雙螺旋結構圖形。為此，我提出了一個大膽的想法：世間的萬事萬物都可以用一個函數公式表達，但要賦予其變量一定的範圍（如果不規定範圍，那麼這個事物將會無限的大下去）。倘若有一款神一樣的軟件，那麼只要把一塊兒不規則的石頭的函數公式輸入其中，那麼軟件便會自動畫出其三維圖形，同時如果不規定其變量的範圍，那麼這塊石頭將無法畫出來，因為它變成了無邊無際的。現代科技中，有一些軟件具有類似功能，但還達不到我想象的這麼神奇。比如3Dmax、maya等。

所謂“數學型”問題，就是指那些富有數學靈魂的問題。形象地講，譬如化學方程式的配平、有關物理勻變速的計算、管理學的運用等等，它們都是數學類型的問題。客觀的講宇宙間的各種規律變化都離不開“函數思想”。

函數思想滲透於各個領域。用函數思想去思考、解決問題，將會大大壓縮、優化問題的複雜性。在函數思想的傳授和教導中，有着一句俗語：複雜問題簡單化！

經典例題1：汽車經過啓動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之後停車，若把這一過程中，汽車的行駛路程S看作時間t的函數，其圖像可能是（）

解：本題考查的是“一階導數的物理意義”。

下面我們將以：“等差數列”和“物理勻加速”→函數→導數的思路來解剖此題，解答此題，並從此基礎上總結出一種簡便的解題“因子”。

第1步、

等差數列：

通項公式:a[n]=a[1]+(n-1)d

前n項和公式:S[n]=(a[1]+a[n])n/2=na[1]+1/2·n(n-1)d

物理勻加速：

末速度:v[t]=v[0]+at

位移:s=1/2·(v[0]+v[t])t=tv[0]+1/2·at^2

第2步、將“等差數列”和“物理勻加速”進行簡化，變成函數式。

等差數列：

通項公式:a[n]=dn+b（其中，d為公差，b=a[1]-d）

前n項和公式:S[n]=An^2+Bn（其中，A=d/2,B=a[1]-d/2）

【即公式中“b、A、B”都是定量，而n是變量（注意：[]符號裏面的字符為定量右下角的標籤），顯而易見：a[n]為“一元一次函數”；S[n]為“一元二次函數”】

物理勻加速：（同理）

末速度:v[t]=at+v[0]（加速度a和初速度v[0]為定量）

位移:s=a/2·t^2+v[0]t

綜合第1、2步克的結論：“物理勻加速公式”屬於“等差數列”。

【備註】：由公式可看出

1、{a[n]}是一條直線，必過(1,a[1])點，且斜率k=d（公差）；

2、{S[n]}是二次方程（Quadratic Equation）圖像，必過(0,0)點和(1,a[1])點；

3、S[n]的導數(S[n])`與相應的{a[n]}直線的斜率相等，且a[n]的圖像等於(S[n])`切線向下移動d/2個單位

第三步、導數：

因為，位移s公式是一元二次函數

所以， s的“一階導數”s`=(a/2·t^2+v[0]t)`=at+v[0]=v[t]；

s的“二階導數”s``=v`[t]=(at+v[0])`=a.

所以，s的“一階導數”表示“速度”，“二階導數”表示“加速度”。

因此，本題考點技巧為：

即A→B斜率k↓，推理出v↓，所以為“減速運動”；

即A→B斜率k↑，推理出v↑，所以為“加速運動”；

即A→B斜率k不變，推理出v不變，所以為“勻速運動”。

所以，只要把以上“三步”壓縮成一個模版，變成一種“知識因子”存入大腦，那麼解答此題時，耗時將不會超過一秒。

通項公式：a[n]=a[1]q^(n-1)=cq^n【c=a[1]/q】

前n項和公式：S[n]=a[1](1-q^n)/(1-q)【q≠1】

總結：

1、{a[n]}為“指數函數”，且圖像必過（0,a[1]/q）點和(1,a[1])點；

2、單調性：

{a[n]}為增函數，互推a[1]＞0,q＞1或a[1]＜0,0＜q＜1；

{a[n]}為減函數，互推a[1]＜0,q＞1或a[1]＞0,0＜q＜1；

{a[n]}為常函數，互推q=1；

{a[n]}為擺動數列，互推q＜0.

經典例題2： a.離子方程式

脱氮是污水處理的重要內容之一。脱氮反應之一是“生物硝化過程”，其反應如下：

_NH₄″+_O₂→_NO₃′+H″+_H₂O【″為正離子，′為負離子】

解：Ⅰ、分別設NH₄″、O₂為x、y，則由物量守恆得：

x NH₄″+ y O₂→ x NO₃′+ (10x-4y) H″+ (2y-3x) H₂O

Ⅱ、由電荷守恆得：

x=(-x)+(10x-4y)=9x-4y → 2x=y

取最小倍數即得：x=1,y=2

b.分子方程式

Cu₂S與一定濃度的HNO₃反應，生成Cu(NO₃)₂、CuSO₄、NO₂、NO和H₂O，當NO₂和NO的物質的量之比為1:1時，實際參加反應的Cu₂S與HNO₃的物質的量之比為（）

A.1:7； B.1:9； C.1:5； D.2:9

解：列出題中所述反應方程式，並設Cu₂S、HNO₃分別為x、y，n(NO₂):n(NO)=p:p

則，x Cu₂S + y HNO₃= x Cu(NO₃)₂+ x CuSO₄+ p NO₂+ p NO + y/2 H₂O

得物量守恆：

N守恆：y=2x+2p

O守恆：3y=6x+4x+3p+y/2

合併兩式，同時消去p得：x/y=1/7.所以，選A.

用函數思想去解決化學方程式配平的問題，將會更精準、迅速，且易學。

時間、長度、質量的關係 計算Δt、l、m時，“(1-(v/c)²)½”做為一個函數因子代入，即設(1-(v/c)²)½”=μ。

則Δt=Δt`/μ、l=l`μ、 m=m₁/Δt（其中，Δt、Δt`分別為靜止時的時間變化、相對運動時的時間變化；l、l`分別為靜止者看到的運動物長度、相對靜止時物體的長度；m、m₁分別為運動物的質量、物體相對靜止時的質量）

這裏巧妙、靈活的運用了函數思想，引入了“函數因子”這一概念，使其形成了一種函數模版。這使得一些複雜的式子得以明瞭、清晰化。

經典例題3：這裏主要是鞏固“經典例題1”中所學到的知識，以進一步加強對函數思想的理解。

“神舟”六號飛船完成了預定空間科學和技術試驗任務後，返回艙於2005年10月17日4時11分開始從太空向地球表面按預定軌道返回，在離地10km的高度打開阻力降落傘減速下降，這一過程中若返回艙所受阻力與速度的平方成正比，比例係數（空氣阻力系數）為k，設返回艙總質量M=3000kg，所受空氣浮力恆定不變，且認為豎直降落。從某時刻開始計時，返回艙的運動v=t圖像如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點的切線，切線交於橫軸一點B，座標為(8,0)，CD是平行橫軸的直線，交縱軸於C點，座標為(0,8)。g取10m/s²，請解決下列問題：

〈1〉在初始時刻v₁=160m/s時，它的加速度多大？

〈2〉推證空氣阻力系數k的表達式並算出其數值。

〈3〉返回艙在距離高度h=1m時，飛船底部的4個反推力小火箭點火工作，使其速度由8m/s迅速減至1m/s後落在地面上，若忽略燃料質量的減少對返回艙總質量的影響，並忽略此階段速度變化而引起空氣阻力的變化，試估算每支小火箭的平均推力（計算結果取兩位有效數字）。

為了使讀者放開思維去徹底的瞭解函數思想，以下我們將舉一個生活中最常見的例子，來説明函數思想運用的廣泛性，同時也要讓大家感受到和明白函數思想無處不被用到。

很多騰訊用户和銀行客户在設置QQ密碼和賬號密碼時遇到同樣的難題。這樣的現象尤為體現在擁有多個賬號的客户。就拿QQ用户來説吧，假設一個boy有五個或是更多的QQ賬號，在他設置密碼時，為了提高安全性，他不想設置成一樣的密碼，這個問題該怎麼解決呢？

這裏，如果你擁有了“和”的思想，在思想上有了很高的覺悟，做事有策略性、寫文章有明確的條理性，是一個會看書的人，那麼你就可以利用函數思想輕鬆的解決這個問題了。

1、首先，你要自己確立個（或構造個）函數密碼公式。如“521zuguoandX”(寓意：我愛你，祖國，還有X)，在這裏，“521zuguoand”是定量，“X”是變量，你構造這個函數的過程是一個“規定”的過程（即你首先要有這種主動去“構造”、去“規定”的意識，這是一種“規定思想”）。

2、然後你就可以運用了，譬如：你的第一個賬號密碼是“521zuguoandmama（我愛你，祖國我的媽媽）”；第二個賬號密碼則可以改為“521zuguoanddahai（我愛你，祖國我的）”……也就是説，你可以在自己構造的函數公式裏任意定向改變變量，是其對應一個或多個賬號。