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凸組合
鎖定
凸組合是一類特殊的線性組合,是若干個點的某種特定意義下的非負線性組合。
[1]
- 中文名
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凸組合
- 外文名
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convex combination
- 所屬學科
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數學
- 別 名
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凸線性組合
- 性 質
-
線性組合
凸組合定義
設
向量 如有實數
,且
,則稱
為向量
的一個凸組合(凸線性組合)。
[2]
凸組合凸集聯繫
(1) 如果點
的任意凸組合仍包含在D中,則D一定為凸集。
(2) 設
為凸集D中的一點,如果不存在D中的相異點
以及某一實數
,使得
,則稱
是D的極點,有界閉凸集中的每一個非極點必定是其極點的凸組合。
[2]
凸組合幾何意義
下面研究在
中向量凸組合的幾何意義,在這裏,深入研究
的向量,與其説是
有向線段,不如説出現在
內的點更好。
[3]
直線上的情況
首先考慮
即在直線上的情況,在直線上引入座標,設有座標為a,b的兩點的凸組合x,則
這就是説
在以
為端點的線段上 (圖1),在
式中令
,則
,令
,則
。
圖1
兩個向量的凸組合
這表示
在連結
兩點的線段上,
中的情況也是一樣。
三個向量的凸組合
則
b是
的凸組合, 因此在連結
, 並以
為端點的線段上, 由
式有
是
b和
的凸組合,因此,在以
b和
為端點的線段上,由圖2可以看出, 點
在以
為頂點的三角形上。當
中某個等於0時,點
落在這個三角形的邊上或頂點上。反過來,這個三角形上的任意點,都可以表示為端點為
的凸組合(請考慮其理由), 因此
的凸組合所表示的點的全體就是以它們為頂點的三角形的邊界和內部的點。
圖2
點數4個以上的情況也是同樣的,
中n個點
的凸組合全體形成一個
凸多邊形,這個凸多邊形的頂點或者是
的全部,或者是其中的—部分,在後一種情況,不是頂點的
落在這多邊形的邊上或內部(圖3)。
圖3
的情況和
一樣,只要把凸多邊形改為 “
凸多面體”即可。
包含在
中的集合
S有如"
,則
"這樣的性質時,則稱
S為
凸集合,這意味着連結S上任意兩點的線段上的點全部屬於S,即在直觀的意義上, S不是凹下去,沒有不連接的部分,這就是凸集合這個名詞的由來。
中的m個向量
的凸組合的全體,是包含它們的最小凸集合,稱為
的
凸包。 稱形如
這時候沒有條件
的非負組合全體稱為由
所張的
凸錐,這是形成以原點為頂點的放射狀的區域,在
中的凸錐如圖4所示。
[3]
圖4
凸組合相關定理
定理1
集合X是凸集的充要條件是X中點的任意凸組合都屬於X。
定理2
X的凸包是由X中元素的所有凸組合組成的集合。
定理3
卡拉特奧多里(Caratheodory) 令X是
中集合,若
是X中點的凸組合,則
是X中
個點或更少的點的凸組合。
[4]
- 參考資料
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1.
《數學辭海》編輯委員會.數學辭海:中國科學技術出版社,2002.08
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2.
靳志宏,計明軍.物流實用優化技術:中國物資出版社,2008.8
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3.
(日)岡本哲治.經濟數學:遼寧人民出版社,1985年07月第1版
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4.
(西)弗恩特(Fuente,A.D.L.)著 朱保華 錢曉明譯.經濟數學方法與模型:上海財經大學出版社,2003年08月第1版