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冪零矩陣
鎖定
在線性代數中,對於n階方陣N,存在正整數k,使得N^k=0,這樣的方陣N就叫做冪零矩陣。滿足條件的最小的正整數k被稱為N的度數或指數。更一般來説,零權變換是向量空間的線性變換L,使得對於一些正整數k(並且因此,對於所有j≥k,Lj = 0),L^k= 0。
冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況,不僅可以應用於矩陣和線性變換,也可以應用於環的元素。
- 中文名
- 冪零矩陣
- 外文名
- Nilpotent matrix
- 別 名
- 冪零陣
- 別 名
- 冪零方陣
- 表達式
- N^k=0
- 應用學科
- 線性代數
- 屬 性
- 收斂矩陣的一種特殊情況
冪零矩陣簡介
在線性代數中,對於
的方陣N,存在正整數k,使得
,這樣的方陣N就叫做冪零矩陣。滿足條件的最小的正整數k被稱為N的度數或指數。更一般來説,零權變換是向量空間的線性變換L,使得對於一些正整數k(並且因此,對於所有j≥k,L^j = 0),
。
[1]
冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況,不僅可以應用於矩陣和線性變換,也可以應用於環的元素。
冪零矩陣性質
(1)N是冪零矩陣。
(2)對於一些正整數k≤n,N的最小多項式為
。
(3)N的特徵多項式為
。
(4)N的唯一特徵值為0。
(5)對於所有k> 0,tr(
)= 0。
最後一個定理適用於特徵值為0或特徵值足夠大的矩陣。 (參考牛頓的證實)
這個定理有幾個結論,包括:
(1)n×n冪零矩陣的度數總是小於或等於n。
(2)冪零矩陣不是可逆矩陣的。
(3)唯一冪零且可對角化的矩陣是零矩陣。
(4)若M為實對稱矩陣,則M=0。
(5)非零的冪零矩陣A不能對角化。
(6)若A為n階冪零矩陣,則
,
均為冪零陣。
冪零矩陣舉例
矩陣M=
是冪零矩陣,因為
。
更一般地説,主對角線均為0的任何三角矩陣均為冪零矩陣,指數
。 例如,矩陣
是冪零矩陣,因為
。
雖然上面的例子中的矩陣有大量的0元素,但是一個典型的冪零矩陣可能沒有0元素。 例如,矩陣
,儘管矩陣沒有零項,但是其冪次方為零矩陣,因此該矩陣為冪零矩陣。
冪零矩陣分類
考慮n×n階移位矩陣:
該矩陣沿着超對角線有若干個元素1,其他地方均為元素0。 作為線性變換,移位矩陣將矢量的分量向左移動一個位置,零出現在最後位置:
。
該矩陣是度為n,並且是“規範””的冪零矩陣。
具體地説,如果N是任何非零矩陣,則N與下面形式的分塊對角矩陣相似。
冪零矩陣附加屬性
如果N是冪零矩陣,則I + N是可逆的,其中I是n×n個單位矩陣。 逆矩陣如下,
如果N是冪零矩陣,
,其中I表示n×n單位矩陣。 相反,如果存在矩陣A,若等式
對於t的所有值均成立,則A是冪零矩陣。
每個奇異矩陣都可以寫成一個冪零矩陣的乘積。
冪零矩陣是收斂矩陣的一種特殊情況。
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