典範方程組

典範方程組是由廖山濤獨創的分析式定量估計方法，用它來研究流是十分有效的，這一套方法被概括為典範方程組。典範方程組的基本思想是把微分流形上的常微系統的相空間經過適當途徑把它化為歐氏空間上的常微分方程組來討論。

設M是緊緻n維黎曼流形，S是M上的C¹常微系統（即C¹向量場）。令φ_t是S在M上產生的流，這個流在切叢TM上誘導出一個單參數變換羣

從而在正交p標架叢𝓕_p(1≤p≤n)上誘導出一個單參數變換羣𝒳_t:𝓕_p→𝓕_p(t∈R)，以Pro j_k表示p標架向第k個基向量的投射。對任何一個β∈𝓕_p，函數ζ_β·k(t)=||Pro j_k𝒳_t(β)||對t∈R連續可微，因而在正交p標架𝓕_p上可定義函數

它被稱為S的示性函數。

規範正交p標架叢

是𝓕_p的子叢，𝒳_t(β)和ω_k(β)(k=1,2,...,p)在

上自然也有定義。將𝒳_t(β)規範化又可得到

，這樣又誘導了一個

上的流

任給β∈

，由於對任意b∈M，

和

都是

的基底，故可寫成

其中C_β(t)是三角式矩陣，其對角線係數順序是

對角線下面的係數都是0。C_β(t)對t∈R連續可微，且滿足方陣方程

記R_β(t)^tr是矩陣R_β(t)的轉置，線性常微分方程組

(R_β)稱為S以β為基的線性化方程組。

廖山濤把導出線性化方程組(R_β)的手續稱為大範圍線性化。對

，按以下方法定義一個從Rⁿ⁺¹到M的C^∞映射𝓟_β：

這裏t∈R，

，exp是黎曼流形M的指數映射。記𝓟_β,t(y)=𝓟_β(t,y)，對於M上的向量場S，可惟一確定

和

滿足條件

記

廖山濤把向量場S表示為方程組

它稱為向量場S的典範方程組。

典範方程組可以用來研究向量場在C¹擾動下的性態。

例如，應用典範方程組可以對推廣的C¹封閉引理及雙曲不變集半結構穩定性給出證明等。 ^[1]