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共點
鎖定
- 中文名
- 共點
- 外文名
- concurrent
- 所屬學科
- 數學(幾何學)
- 舉 例
- 線共點,面共點,圓共點等
- 定 義
- 平面上或空間中若干幾何元素共有的與點的結合關係,若干直線(或圓或平面)共點是説它們通過同一個點,若干直線或若干平面都共點是説它們都通過一個公共點
共點基本介紹
平面的甚本性質是研究立體幾何的基礎,點、線、面是立體幾何中的最基本的元素,因此共點,共線、共面問題是立體幾何中一類不可忽視的問題。
所謂共點、共線、共面問題通常指線共點、面共點、點共線、面共線、點共面與線共面問題,證明這類問題常採用共面定理、同一法、向量法等等。
共點線共點
共點定義
通過同一點的若干條直線稱為共點線,或稱為這些直線共點。
三個平面兩兩相交得到三條交線,這三條交線或交於一點,或相互平行。
共點證明方法
證明三條或三條以上直線共點的方法有以下幾個(具體例題請參考相應參考資料)。
1.利用特殊點的唯一性
(1)利用已知線段中點,內定比分點,外定比分點的唯一性;
(2)利用已知四邊形對角線交點的唯一性;
(3)利用三角形各心的唯一性。
2.利用三點共線證明三線共點
從一般的意義來説,證明三條直線AB、CD、EF交於一點的問題,可轉化為證明AB和CD的交點P和點F、E三點共線。
3. 利用同一法
要證AB、CD、EF三條直線共點,可設AB與EF交於M,CD與EF交於N,如果證明M和N重合,則AB、CD、EF三線共點。
4. 利用塞瓦定理的逆定理
△ABC中,D、E、F分別是BC、CA、AB上或延長線上的點,且滿足
,則AD、BE、CF交於一點。
5.利用位似圖形
如果能證明兩個圖形是位似圖形,那麼對應點的連線共點。
6. 利用笛沙格定理的逆定理
△A1B1C1與△A2B2C2在同一平面內,B1C1與B2C2的交點為X,C1A1與C2A2的交點為Y,A1B1與A2B2的交點為Z,且X、Y、Z在一直線
上,則三直線
交於一點。
7.利用佈列安桑定理
例1 設四邊形ABCD的一組對邊BA和CD的延長線交於點E,另一組對邊AD和BC的延長線交於點F,則AC的中點L,BD的中點M及EF的中點N三點共線。
證明:如圖1所示,設P、Q、R分別為EB、EC、CB的中點,因L、Q、R分別是CA、CE、CB的中點,所以它們在同一直線上,且有
共點圓共點
有幾個圓交會於一點時,這些圓叫做共點的圓。為證若干個圓共點,可先證其中兩圓相交(或相切)於某點,然後再證此點也在其它圓上,這樣,就是把共點圓的問題化為共圓點的問題來研究,現舉例如下:
共點三點共圓
例2設在△ABC三邊BC、CA、AB所在直線上各任取一點X、Y、Z(如圖2),則三圓AYZ、BZX、CXY共點。
證明:如圖2所示,⊙BZX與⊙CXY已有一交點X,故當有第二交點O,連OX,OY、OZ,則有∠AYO=∠CXO=∠BZO,因此O點在⊙AYZ上,這就是説,三圓⊙AYZ、⊙BZX、⊙CXY交會於同一點O。
請注意,如果當初X、Y、Z、O各點位置若有更動,不象圖2那樣的話,仍有三圓共點的結論,但證法須作相應的修改,建議讀者自選此種情形,予以試證。此處不再贅述。
共點四圓共點
例3 四條直線AE、AF、ED、FB兩兩相交成四個三角形,它們的四個外接圓ABF、BCE,CDF及DAE共點。這點叫做四條直線所構成的完全四邊形的密克點(Miquel)。
證明:如圖3,先從△ABF來看,D、E、C是它三邊所在直線上的點,故三圓⊙BCE、⊙CDF、⊙DAE共點(如例2),也就是説,⊙DAE通過⊙BCE與⊙CDF的第二交點O。
再從△DAE來看,B、C、F是它三邊所在直線上的點,所以三圓⊙ABF,⊙BCE、⊙CDF也共點,這就證明了⊙ABF也通過⊙BCE與⊙CDF的交點O。
共點多個圓共點
介紹一下四條相交直線組成的一個所謂“完全四邊形”,例如AE,AF、BF、DE四條直線(如圖4),它包含三個四邊形:凸的ABCD四邊形,凹的AECF四邊形,折的BEDF四邊形,這樣的四條直線AE、AF、BF、DE組成的圖形就叫做是一個完全四邊形。其中每個四邊形的對邊都叫做完全四邊形的“對節’’,於是一個完全四邊形共有六雙對節(圖4)。