共面向量定理

如果兩個向量a.b不共線，則向量p與向量a.b共面的充要條件是存在唯一有序實數對(x.y),使　p=xa+yb

定義為：能平移到同一平面上的三個向量叫做共面向量

設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在唯一的有序實數組(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC 説明：若x+y+z=1 則PABC四點共面

（1）唯一性：

設另有一組實數x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

則有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC

∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0

∵OA、OB、OC不共面

∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'

故實數x,y,z是唯一的。

（2）若x+y+z=1， 則PABC四點共面：

假設OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 ，且PABC不共面

那麼z=1-x-y ，則OP=xOA+yOB+（1-x-y）OC

=xOA-xOC+yOB-yOC+OC

=OC+xCA+yCB (CP=xCA+yCB)

點P位於平面ABC內，與假設中的條件矛盾，故原命題成立。

空間任一點P位於平面MAB內的充要條件是：存在有序實數對{,x.y}，使　MP=xMA+yMB　或對空間任一定點O，有　OP=OM+xMA+yMB