共軛雙曲線

如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸(都指線段)，則兩條雙曲線叫作共軛的。當兩條雙曲線共軛時，每條雙曲線都叫作另一條雙曲線的共軛雙曲線(圖1)。 ^[2] 

定理 雙曲線

和

是共軛的(這兩個方程等號的左端完全一樣，右端的常數項一個是1，一個是一1)，也就是實軸與虛軸互換的雙曲線。

推論 雙曲線

和

(這裏A,C異號,

)共軛。

共軛雙曲線除具有定義中所説的關係以外，還有以下的簡單關係：

(1)兩條共軛雙曲線的四個焦點與它們的共同中心等距離，即互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上，這個圓叫做雙曲線的輔助圓。 ^[3] 

(2)兩條共軛雙曲線有共同的漸近線

，相同的焦距，但焦點不一樣。

(3)互為共軛的雙曲線的兩個離心率的倒數平方和為1。 ^[4] 

這是因為兩條共軛雙曲線

和

的漸近線都是

，即都是

和

。

考察方程

，

，

。

前後兩個是共軛雙曲線的方程，中間是它們的共同漸近線的方程，這三個方程的等號左端完全一樣，而等號右端的常數項恰成等差數列。 ^[2] 

例1 已知雙曲線的中心在原點，焦點在一條座標軸上，它的一條漸近線為

，並且雙曲線通過點

，求這雙曲線的方程。 ^[2] 

解: 因雙曲線的中心在原點，並且焦點在一條座標軸上，所以雙曲線的兩條漸近線關於座標軸對稱，因此另一條漸近線為

，所以兩條漸近線的方程為

即

因此雙曲線的方程應該是

由於這條雙曲線通過點

，所以有

從而

，所以雙曲線的方程為

例2 設一條直線和一條雙曲線及其兩條漸近線都相交，求證：這條直線夾在雙曲線及其漸近線之間的兩條線段(圖2中的AB與CD)相等。 ^[2] 

證明: 設雙曲線的方程為

那麼，它的漸近線的方程為

設割線的方程為

則方程組

的解是交點B，C的座標．把

代入

，得

這個二次方程的兩個根

和

分別為B和C的橫座標，而

於是線段BC的中點的橫座標

線段BC的中點的縱座標

要求A，D的座標，應解方程組

很明顯，消去

後所得的二次方程的二次項和一次項與

相同，因此它的兩個根的和，即A，D的橫座標的和與B，C的橫座標的和相等，從而線段AD的中點的橫座標與線段BC的中點的橫座標相等，因而線段AD的中點的縱座標與線段BC的中點的縱座標也相等。這樣，線段AD的中點與線段BC的中點實際上是同一個點，所以線段AB等於線段CD。

當割線與雙曲線的實對稱軸垂直時，由雙曲線及其漸近線的對稱性可知也有

。

説明;若移動割線，變為雙曲線的切線時，由本例可知，這切線夾在兩漸近線間的線段被切點二等分(圖3)。 ^[2]