共軛線性算子

共軛線性算子是由線性算子誘導出的共軛空間之間的算子。

設X,Y為賦範線性空間，T是X到Y的稠定線性算子。記𝒟* =

，存在g∈X*，使對一切x∈𝒟(T)，g(x)=f(Tx)成立}，這裏g由f惟一確定，𝒟*是Y*的線性子空間，在D*上定義算子T*:T*f=g，T*是以𝒟*為定義域的到X*的線性算子，並稱為T的共軛算子，也稱為T的對偶線性算子或伴隨線性算子。

當T是有界線性算子時，T*也是有界的，並且‖T*‖= ‖T‖。有界線性算子的共軛算子有如下基本性質：

（a,β 是數）；

(TS)* = S*T*；

(T^-1)* = (T*)^-1。

當X,Y是內積空間時，T的共軛算子T*是指滿足(Tx,y)=(x,T*y)的線性算子。內積空間的共軛算子是線性代數中轉置共軛矩陣概念的推廣，它與賦範空間上共軛算子的性質的區別僅在於

（α,β是數）。特別地，當X=Y是希爾伯特空間時有：

1.若A∈𝓑(X),則A*∈𝓑(X)；

2.A**=A；

3.‖A*A‖= ‖A‖²；

4.ker(A)=𝓡(A*)^⊥，ker(A*)= :𝓡(A)^⊥，這裏的ker(A)為算子A的零空間。

賦範空間中共軛算子是線性代數中轉置矩陣概念的推廣，所以自然地在研究方程Tx=y時它起着重要作用。 ^[1]