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共變和反變
鎖定
- 中文名
- 共變和反變
- 外文名
- contravariant and covarian
- 定 義
- 數學術語
共變和反變轉換方式
向量:反變轉換
- 標記法説明:向量是向量空間的元素。向量基底構成了向量空間的一個基底,而則表示的分量。
V有另一個基底,對應這個基底,有分量。對於1...n之間其中一個特定的整數,我們知道和的關係:
- 。
使用愛因斯坦求和約定可寫成:
- 。
餘向量:共變轉換
對於V的基底,有屬於V*(V的對偶空間)的對偶基底。
對於...之間其中一個特定的整數,我們知道和的關係:
- 。
使用愛因斯坦求和約定寫成:
- 。
共變和反變反變分量
- 。
逆過來,通過上述方程式,線性泛函和每一個餘向量,唯一地確定了向量。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是説,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予的一個基底,則必存在一個唯一的對偶基底,滿足
- ;
其中,是克羅內克函數。
以這兩種基底,任意向量可以寫為兩種形式
- ;
其中,是向量對於基底的反變分量,是向量對於基底的共變分量,
共變和反變歐幾里得空間
- ;
其中,是三個基底向量、、所形成的平行六面體的體積。
反過來計算,
- ;
其中,是三個基底向量、、所形成的平行六面體的體積 。
雖然與並不相互標準正交,它們相互對偶:
- 。
這樣,任意向量的反變座標為
- 。
類似地,共變座標為
- 。
這樣,可以表達為
- ,
或者,
- 。
綜合上述關係式,
- 。
向量的共變座標為
- ;
其中,是度規張量。
向量的反變座標為
- ;
其中,是共軛度規張量。
共變座標的標號是下標,反變座標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變座標和反變座標,所有的標號都可以用下標來標記。
共變和反變應用
根據相對性原理,一條物理定律在不同的系統,都應該有相同的“形式”。
- 參考資料
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- 1. 內容根據CC BY-SA 3.0 可用 .維基百科[引用日期2016-01-13]
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