全連續算子

全連續算子是一類重要的有界算子，它最接近於有限維空間上的線性算子。設X，Y是賦範線性空間，T是X到Y的連續算子。如果T把定義域中任何有界集映射成Y中的列緊集，則稱A是全連續算子，或緊算子。緊算子概念是希爾伯特(Hilbert，D.)於1906年引入的，1917年裏斯(Riesz，F.)對緊算子進行了系統的研究，1930年紹德爾(Schauder，J.P.)進一步證明了緊算子的更多性質。 ^[1] 

設X、Y均為賦範線性空間，T為X→Y的線性算子，如果T將X中的任一有界集映成Y中的列緊集，則T稱為全連續算子，或緊算子。 ^[1] 

注：1）距離空間上的全連續算子的定義為：設X、Y均為距離空間，T為X→Y的線性算子，如果T將X中的任一有界集映成Y中的列緊集，則T稱為緊算子，連續的緊算子稱作全連續算子。 ^[1] 

顯然，如果X、Y均為賦範線性空間，T為X→Y的線性算子，那麼T是緊算子與T是全連續算子是等價的。 ^[2] 

2）設X、Y均為賦範線性空間，A為X→Y的緊算子的充要條件是對X中任何有界集，AM的閉包是Y中的緊集；這又等價於對X中任何有界點列{x_n}，{Ax_n}有在Y中收斂的子列。 ^[2] 

設X、Y均為賦範線性空間，A為X→Y的緊算子，則A具有以下性質 ^[3]  ：

1)算子T為緊算子當且僅當T將X中的閉球B(θ，1)={x： ‖x‖≤1}映成Y中的列緊集；

2)緊算子必定是連續的；

3)設T₁、T₂為X→Y的緊算子，α、β∈C，則αT₁+βT₂為X→Y的緊算子；

4)設X、Y、Z為賦範線性空間，T₁∈L(X，Y)，T₂∈L(Y，Z)，如果T₁，T₂中至少有一個為緊算子，則T₂T₁為X→Z的緊算子。

5)設X為賦範線性空間，Y為巴拿赫空間，而且

，則T也是緊算子；

6)設T∈L(X，Y)，T為緊算子，則T的值域是可分的；

7)設T∈L(X，Y)，T為緊算子，則T*為Y*→X*的緊算子；

8)設T∈L(X，Y)，如果T為緊算子，則T將X中的弱收斂點列映成Y中的強收斂點列；

9)設X為賦範線性空間，Y為巴拿赫空間，則X→Y的緊算子的全體按通常算子的線性運算按算子範數構成了L(X，Y)的閉子空間，因此它本身也是一個巴拿赫空間。

全連續性是線性積分算子特有的基本性質。設k(x，y)是G×G上的平方可積函數，則以k(x，y)為核的線性積分算子是映L²(G)入L²(G)的全連續線性算子。類似地，若k(x，y)在G×G上連續，則以k(x，y)為核的線性積分算子是映C(G)入C(G)的全連續算子.線性積分算子所具有的全連續性，使得線性積分算子可以作為全連續線性算子的一種特例而加以研究。人們可以首先用泛函分析的方法研究全連續線性算子，然後作為應用的特例，導出線性積分算子的基本性質。 ^[1]