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克拉莫-克若尼關係式
鎖定
克喇末-克勒尼希關係式（英語：Kramers–Kronig relations）是數學上連繫復面上半可析函數實數部和虛數部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合復面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫·克勒尼希和漢斯·克喇末為名。
- 中文名
- 克拉莫-克若尼關係式
- 外文名
- Kramers–Kronig relations
- 分 類
- shulikex
- 所屬學科
- 數學
克拉莫-克若尼關係式公式定義
給定一複數變數
的復值函數
，其中
和
是實值函數。假設此函數
在複數平面上半部可析，且當
趨向無限大時，它在上半平面趨於零的速度比
快或與之相等，那麼
滿足以下關係：
克拉莫-克若尼關係式推導
克拉莫-克若尼關係式物理理解
可以將Kramers-Kronig關係應用於響應函數理論。物理上，響應函數
概括系統對在時間
的作用力
在另一時間
的反應
：
反應函數
的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。
上述函數的積分路徑是從
到
，其中出現了負頻率。幸運的是，多數系統中，正頻響應決定了負頻響應，這是因為
是實數變量
的傅里葉變換，根據對實數進行傅里葉變換的性質，
，
是頻率
的偶函數，而
是
的奇函數。
根據該性質，積分可以從正負無窮區間約化為
的區間上。考慮實部
的第一個關係，積分函數上下同乘
可得：
該 Kramers-Kronig 關係在物理響應函數上的很有用處。
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