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偽球面
鎖定
在幾何學中,偽球面用於描述具有恆定負高斯曲率的各種表面。 根據應用環境,它可以指恆定負曲率的理論表面,如牽引曲線或雙曲面。
- 中文名
- 偽球面
- 外文名
- Pseudosphere
- 領 域
- 幾何學
- 特 徵
- 具有恆定負高斯曲率
- 成 因
- 曳物線其漸近線旋轉
- 實 例
- 牽引曲線、雙曲面
目錄
- 1 簡介
- 2 理論偽球面
- 3 Tractricoid
- 4 通用覆蓋空間
- 5 雙曲面
偽球面簡介
偽球面是由曳物線(tractrix)繞其漸近線旋轉而形成的迴轉曲面。這種曲面的全曲率在每一點都是常數且是負的。位於此曲面上的直線與平行公設不一致,因而構造這種曲面的可能性為非歐幾何學提供了相對相容性的證明。
偽球面理論偽球面
一般認為,半徑為R的偽球體的曲率均為
,這類似於半徑為R的球體,其曲率為
類似。 該術語由Eugenio Beltrami在1868年發表的有關雙曲線幾何模型的論文中有所介紹。
偽球面Tractricoid
該術語也用於指某特定表面的一種,即Tractricoid表面:一種關於其漸近線旋轉的結果。例如(半)假球(半徑為1)是輪廓被參數化的表面,
之所以叫做為球面是因為它是一個恆定的負曲率的二維表面,就像具有正高斯曲率的球體一樣。 正如球體在每一點上都是圓頂的正彎曲幾何形狀一樣,整個假球體在每一點都具有鞍座的負彎曲幾何形狀。
早在1693年,Christiaan惠更斯發現,儘管沿着旋轉軸線的形狀是無限大的程度,假球的體積和表面積是有限的。 對於給定的邊緣半徑R,面積為4π
,就像球體一樣,而體積是
,因此是該半徑球體的一半。
偽球面通用覆蓋空間
彎曲半空間由y≥1的雙曲上半平面的部分覆蓋。覆蓋圖在週期2π的x方向上是週期性的,並且對於產生偽球的軌道,將偽圈的經線和垂直測地線x = c的環繞y = c。 該映射是局部等值線,因此表現出上半平面的y≥1作為偽球的通用覆蓋空間。精確的映射是,
此時,
是上面的系統的參數化。
偽球面雙曲面
在使用雙曲面模型的一些來源中,雙曲面被稱為偽球。這個詞的使用是因為雙曲面可以被認為是虛擬半徑的球體,嵌入在閔可夫斯基空間中。
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- 參考資料
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- 1. Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X., Chapter 5, page 108
- 2. Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (2 ed.). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5., Chapter 40, page 154
- 3. Hasanov, Elman (2004), "A new theory of complex rays", IMA J. Appl. Math., 69: 521–537, ISSN 1464-3634, doi:10.1093/imamat/69.6.521
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