偽微分算子

偽微分算子的研究始於20世紀60年代中期，Kohn，Nirenberg，Hörmander，Unterberger和Bokobza[1]的工作。

他們在Atiyah-Singer指數定理的第一個證明中發揮了重要作用。Atiyah和Singer感謝Hörmander幫助理解偽微分算子的理論 ^[1]  。

設

為一個定義在

上的緊支撐的光滑函數，考慮下面的常數係數微分算子：

利用傅立葉變換，可以將這個微分算子用另外一種等價的形式表達，首先將這個算子的傅立葉變換寫出，

注意這裏已經將微分變換為頻率域中的乘法，所以整個算子的傅立葉變換成為一個頻率域中的多項式。我們一般稱其為一個符號（symbol）。

這個符號的傅立葉逆變換為

注意，上面的

表示了一個多重指標，而

則是利用這個多重指標定義的一個微分算子，具體可以寫為

，其中

表示對第j個變量的微分。另外，各個係數

都是

中的常數。

從(1)中不難發現，一個微分算子可以用它的傅立葉變換表示出來。類似地，一個偽微分算子也可以這樣定義：

與(1)的區別在於，這裏的

可以是一個更一般的函數。

如上選取的u，其傅立葉變換為

而從傅立葉逆變換公式可以知道

將P(D)應用於這個u，則有

由此就得到了(1)。

為了求解方程

我們可以形式地將傅立葉變換應用於方程兩邊，從而得到一個代數的方程

如果符號

對於任何

都不是0，那麼除以後則有

由傅立葉逆變換公式，則可以得到一個解

請注意我們的假設：

1.P(D)是一個常係數的微分算子。

2.它的符號

永遠不為0。

3.u和f都有傅立葉變換。

最後一個條件可以利用和分佈相關的定理減弱（這裏的分佈不是統計中的分佈，而是分析中的概念），而前面兩個條件則可以利用如下的方法減弱：

將f的傅立葉變換寫出可以得到

此式的形式與(1)非常相似，區別僅在

不是一個多項式函數，而是一個更一般的函數，因此引出下面的主題：

我們核心的目的是通過公式(1)，在允許使用更一般的

的條件下，定義算子P(x,D)：

因此假設

屬於某個特定的符號類。

例如，如果

是

一個上無限可微的函數，並且對於所有

和所有多重指標

，以及某些給定的常數

，給定的實數m，P都滿足

那麼P就屬於一個Hörmander類，我們將它記為

而對應的算子P(x,D)則被稱為一個m階的偽微分算子，並且屬於類

。

一個係數為有界光滑函數的m階線性微分算子是一個m階的偽微分算子。

兩個偽微分算子P,Q的複合PQ也是一個偽微分算子，而且PQ的符號可以用P和Q的符號來計算。

一個偽微分算子的伴隨算子和轉置算子仍然是一個偽微分算子。

如果一個m階微分算子是一個（m階一致的）橢圓算子並且可逆，那麼它的可逆算子是一個-m階的偽微分算子，並且可以算出它的符號。這就意味着在某種意義下，人們可以利用偽微分算子的理論，精確地求解線性橢圓微分方程。

一個微分算子是局部的，因為它只需要知道被作用的函數在某個點附近的某個鄰域中的值，就可以求出這個算子在這個點附近作用的效果。而偽微分算子有時也被非正式地被叫做偽局部的，因為它作用在一個分佈上的時候，不會在這個分佈的光滑部分產生新的奇點。

如同一個微分算子可以用

的記號，以P(x,D)表出（其中P是D的多項式，稱為符號），偽微分算子的符號可以用比多項式更一般的函數表示。一般而言，人們可以將一個偽微分算子的分析問題轉化為一個與它的符號相關的一系列代數問題，而這也是微局部分析的基本思想。

偽微分算子可以用核來表示。核在對角線上的奇異性取決於相應算子的程度。實際上，如果符號滿足上述微分不等式且m≤0，就可以證明該核是一個奇異積分核。