偏相關係數

在多元迴歸分析中，在消除其他變量影響的條件下，所計算的某兩變量之間的相關係數。在多元相關分析中，簡單相關係數可能不能夠真實的反映出變量X和Y之間的相關性，因為變量之間的關係很複雜，它們可能受到不止一個變量的影響。這個時候偏相關係數是一個更好的選擇 ^[2]  。

假設我們需要計算X和Y之間的相關性，Z代表其他所有的變量，X和Y的偏相關係數可以認為是X和Z線性迴歸得到的殘差Rx與Y和Z線性迴歸得到的殘差Ry之間的簡單相關係數，即pearson相關係數。

1 根據上面的説法，從線性迴歸的角度計算變量間的偏相關係數，但是這樣做很麻煩。

2 迭代法，可以認為簡單相關係數為0階偏相關係數，任何n階偏相關都可以通過3個(n-1)階偏相關係數計算出來。

3 相關矩陣求逆法，即首先計算出所有變量的相關性矩陣，然後求它的逆矩陣。這樣可以求出任何兩兩變量之間的偏相關係數。

偏相關係數的檢驗可以有兩種方法。一種是t-test，另外一種fisher 轉化法。

利用樣本數據計算偏相關係數，反應了兩個變量間淨相關的強弱程度。在分析變量x1和x2之間的淨相關時，當控制了變量x3的線性作用後，x1和x2之間的一階偏相關係數定義為 ^[1]  ：

1）提出原假設，即兩總體的偏相關係數與零無顯著差異。

2）選擇檢驗統計量。偏相關分析的檢驗統計量為t統計量，它的數學定義為：

式中，r為偏相關係數，n為樣本數，q為階數。統計量服從n-q-2個自由度的t分佈。

3)計算檢驗統計量的觀測值和對應的概率p-值。

4）決策。如果檢驗統計量的概率p-值小於給定的顯著性水平α，則應拒絕原假設，反之，則不能拒絕原假設。

在多元迴歸中，應注意簡單相關係數只是兩變量局部的相關性質，而並非整體的性質。在多元迴歸中並不看重簡單相關係數，而是看重偏相關係數。根據偏相關係數，可以判斷自變量對因變量的影響程度；對那些對因變量影響較小的自變量，則可以捨去不顧。