偏最小二乘迴歸法

偏最小二乘用於查找兩個矩陣（X和Y）的基本關係，即一個在這兩個空間對協方差結構建模的隱變量方法。偏最小二乘模型將試圖找到X空間的多維方向來解釋Y空間方差最大的多維方向。偏最小二乘迴歸特別適合當預測矩陣比觀測的有更多變量，以及X的值中有多重共線性的時候。相比之下，標準的迴歸在這些情況下不見效（除非它是Tikhonov正則化）。

偏最小二乘算法被用在偏最小二乘路徑建模中，一個建立隱變量（原因不能沒有實驗和擬實驗來確定，但一個典型的模型會基於之前理論假設（隱變量影響衡量指標的表現）的隱變量模型）這種技術是結構方程模型的一種形式，與經典方法不同的是基於組件而不是基於協方差。

偏最小二乘來源於瑞典統計學家Herman Wold，然後由他的兒子Svante Wold發展。偏最小二乘的另一個詞（根據Svante Wold）是投影到潛在結構，但偏最小二乘法依然在許多領域佔據着主導地位。儘管最初的應用是在社會科學中，偏最小二乘迴歸被廣泛用於化學計量學和相關領域。它也被用於生物信息學，sensometrics，神經科學和人類學。而相比之下，偏最小二乘迴歸最常用於社會科學、計量經濟學、市場營銷和戰略管理。

偏最小二乘法是集主成分分析、典型相關分析和多元線性迴歸分析3種分析方法的優點於一身。它與主成分分析法都試圖提取出反映數據變異的最大信息，但主成分分析法只考慮一個自變量矩陣，而偏最小二乘法還有一個“響應”矩陣，因此具有預測功能。

研究認為，集多元線性迴歸分析、典型相關分析、主因子分析等方法於一體的偏最小二乘迴歸方法( PLS) 更適用於FM 分析, 可以避免數據非正態分佈、因子結構不確定性( factor indeterminacy) 和模型不能識別等潛在問題。

偏最小二乘的一般多元底層模型是

其中

是一個

的預測矩陣，

是一個

的響應矩陣；

和

是

的矩陣，分別為

的投影（“X分數”、“組件”或“因子”矩陣）和

的投影（“Y分數”）；

和

分別是

和

的正交載荷矩陣，以及矩陣

和

是誤差項，服從獨立同分布的正態分佈隨機變量。對

和

分解來最大化

和

之間的協方差。

偏最小二乘的許多變量是為了估計因子和載荷矩陣

和

。它們中大多數構造了

和

之間線性迴歸的估計

。一些偏最小二乘算法只適合

是一個列向量的情況，而其它的算法則處理了

是一個矩陣的一般情況。算法也根據他們是否估計因子矩陣

為一個正交矩陣而不同。最後的預測在所有不同最小二乘算法中都是一樣的，但組件是不同的。

2002年，一個叫做正交投影（英語：Orthogonal Projections to Latent Structures， OPLS）的方法提出。在OPLS中，連續變量數據被分為預測的和不相關的信息。這有利於改進診斷，以及更容易解釋可視化。然而，這些變化只是改善模型的可解釋性，不是生產力。L-PLS通過3個連接數據塊擴展了偏最小二乘迴歸。同樣，OPLS-DA（英語：Discriminant Analysis， 判別分析）可能被應用在處理離散變量，如分類和生物標誌物的研究 ^[1]  。

大多數統計軟件包都提供偏最小二乘迴歸。R中的‘pls’包提供了一系列算。