保角變換法

設函數w=f(z)同胚地把z複數平面上的域D對應到w複數平面上的域△，且滿足①以D的任一點z0為起點且在z0處具有切線的曲線Cz：z=z(t)(0≤t≤1)的象曲線Cw：w=w(t)=f(z(t))(0≤t≤1)在象點w0=f(z0)處仍然具有切線，②在z0處具有切線的兩條曲線C(1)z，C(2)z的夾角與象曲線C(1)w，C(2)w的夾角同向相等，這時稱這個從D到△上的變換w=f(z)是保角變換。w=f(z)在區域D內是保角變換的充分必要條件是f(z)在D內解析且導數f′(z)在D內處處不等於零。函數w=f(z)把域D保角變換到域△上，則連接象曲線Cw上的兩點w0=w(0)和w(t)的線段的長度與連接曲線Cz上的兩點z0=z(0)和z(t)的線段的長度之比，當t→0時，具有不依賴於Cz的選擇方法的一定的非零極限|f′(z0)|。從而，如果在兩條曲線C(1)z，C(2)z上分別各取一點z1，z2，設z1，z2在象曲線C(1)w，C(2)w上的象點分別為w1，w2，則當z1和z2充分接近z0時，兩個三角形△z1z0z2和△w1w0w2近似地正向相似，因此也稱保角變換為保形變換，即在一點的附近，w=f(z)幾乎保持了幾何的形狀。 ^[1]