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低階無窮小

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低階無窮小（Low order infinitesimal）是以數零為極限的變量，屬於高等數學學科。無窮小就是以數零為極限的變量。確切地説，當自變量x無限接近x0(或x的絕對值無限增大)時，函數值f(x)與零無限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。例如，f(x)=(x-1)2是當x→1時的無窮小量，f(n)=1/n 是當n→∞時的無窮小量，f(x)=sinx是當x→0時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。
中文名
低階無窮小
外文名
Low order infinitesimal
定    義
以數零為極限的變量
區    分
無窮小量
一級學科
數學
二級學科
高等數學
類    型
高等數學術語

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 無窮小的比較

低階無窮小定義

首先介紹無窮小量的概念。
初學者應當注意的是，無窮小量是極限為0的變量而不是數量0，是指自變量在一定變動方式下其極限為數量0，稱一個函數是無窮小量，一定要説明自變量的變化趨勢。例如
在
時是無窮小量，而不能籠統説
是無窮小量。也不能説無窮小是
，
是指負無窮大。
設f在某x0的空心鄰域有定義。
對於任給的正數 ε（無論它多麼小），總存在正數
（或正數
）使得不等式
（或
）的一切
對應的函數值
都滿足不等式
，則稱函數
為當
（或
）時的無窮小量。記做：
（或
）。 [1] 
若
，則稱“β 是比 α 較低階的無窮小”。意思是在某一過程中，β→0 比 α→0 慢一些。
例如，因為
所以 x→∞ 時，1/2x 是比 1/3x2 較低階的無窮小。意思是在x→∞ 的過程中，1/2x→0 比1/3x2→0 的速度慢。 [2] 

低階無窮小無窮小的比較

觀察無窮小比值的極限：
兩個無窮小比值極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小趨於零的“快慢”程度。在x→0 的過程中，x2→0 比 3x→0 “快些”，反過來 3x→0 比 x2→0 “慢些”，而 sin x→0 與 x→0 “快慢相仿”。
為了應用上的需要，我們就無窮小之比的極限存在或為無窮大時，給出下面的比較定義。
定義，設 α 及 β 都是同一個自變量的變化過程中的無窮小。
如果
，就説β是比α高階的無窮小，記為
；
如果
，就説β是比α 低階的無窮小；
如果
，就説β與α 是同階無窮小；
如果
，就説β是關於 α 的k階無窮小；
如果
，就説β與α 是等價無窮小，記為 β~α。 [3] 
參考資料
  • 1.    同濟大學數學系．微積分：高等教育出版社，2009．
  • 2.    王振力編講,高等數學自學教程·第二卷·上冊 微分學及其應用,中國科學技術出版社,2006.8,第217頁
  • 3.    費為銀，王傳玉，項立羣，萬上海，許峯編著,高等數學 上冊 第2版,中國科學技術大學出版社,2015.09,第41頁