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代數流形
鎖定
代數流形(algebraic manifold)是復射影空間中的代數子集。若P(C)的一個子流形是P(C)的一個代數子集,則稱這個復子流形為代數子流形。若一個複流形是雙全純於某個復射影空間的一個代數子流形,也稱這個複流形為代數流形。
- 中文名
- 代數流形
- 外文名
- algebraic manifold
- 領 域
- 數學
- 學 科
- 代數
- 性 質
- 復射影空間中的代數子集
- 空 間
- 復射影空間
代數流形概念
代數流形(algebraic manifold)是復射影空間中的代數子集。若P(C)的一個子流形是P(C)的一個代數子集,則稱這個復子流形為代數子流形。若一個複流形是雙全純於某個復射影空間的一個代數子流形,也稱這個複流形為代數流形。
代數流形流形
流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間,在此空間每一點的鄰近預先建立了座標系,使得任何兩個(局部)座標系間的座標變換都是連續的。n維流形的概念在18世紀法國數學家拉格朗日的力學研究中已有萌芽。19世紀中葉英國數學家凱萊(1843)、德國數學家格拉斯曼(1844,1861)、瑞士數學家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論,把它視為n個實變量的連續統。1854年德國數學家黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念:n維流形是把無限多個(n-1)維流形按照一維流形方式放在一起而形成的,從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。法國數學家龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間,其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形),從而開闢了組合拓撲學的道路。
對流形的深入研究集中在流形上的微分結構與組合結構的存在性、唯一性問題,微分結構與組合結構的關係,流形的各種意義下的分類等問題,20世紀50—60年代做出許多重要結果,近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題,其研究仍在繼續。
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代數流形子流形
設N,M分別為n,m維的微分流形。F為N到M的C映射。若F的秩(rankF)在N的每點都等於n,則稱映射F為N到M的一個浸入。若浸入F是單射,則稱F為1-1浸入。
設F為N到M的1-1浸入,此映射下的像Ñ=F(N)⊂M,在Ñ上賦予拓撲和微分結構:設(U,φ)為N的座標鄰域,令V=F(U),φ=ᵠ°F,則(V,φ)為Ñ上的座標鄰域。使得F成為N到Ñ的微分同胚,則Ñ稱為M的n維浸入子流形。
浸入和嵌入的區別是就整體而言,在局部二者是一致的。事實上,若F為N到M的浸入映射,則在任何點P∈N,總存在P的座標鄰域 (U,φ),使得F限制在U上F|u是U到M內的嵌入。
設N是微分流形M的子集,具有以下性質:N的每點P,存在包含P的M中的座標鄰域(U,φ)其局部座標為x,…,x,使得: (1)φ(p)=(0,…,0) ∈R。(2) (U)=Cε(0)——以原點為中心的立方體鄰域。(3) φ(U∩N) = {x∈φCε(0)|x=…=x=0}。具有如上性質的子集N稱M的n維正則子流形,正則子流形本質上就是嵌入子流形。
代數流形復射影空間
復射影空間是實射影空間在復情形的推廣,是一種典型的複流形。設:
代數流形微分流形
設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間,且是拓撲流形,稱A= {(Uα,Фα)|α∈P}是它的地圖,如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋,Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα,Φα)稱為座標卡。如果兩個座標卡 (Uα,Фα),(Uβ,Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ,則稱Φβ·Фα:Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ: Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的座標變換。如果A的所有座標變換都是C可微的,則稱A為一個C地圖,其中1≤r≤∞。r也可等於ω,此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的座標卡 (U,Φ) 稱為與A是Cr相容的,如果任意(Uα,Φα) ∈A,座標變換Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的,如果它包含M的所有與之C相容的座標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M,A)稱為C微分流形,或簡稱為C流形。當r=∞時,C微分結構也稱為光滑結構,C流形也稱為光滑流形。r=ω時,C結構也稱為解析結構,C流形稱為解析流形。C流形(M,A)有時也簡記為M。
從直觀上看,拓撲流形是局部歐氏空間,局部之間用同胚映射(座標變換)粘貼在一起。n維C流形,不僅局部同胚於n維歐氏空間,而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的座標變換粘貼在一起。
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