代數數論

本書為《中國科學院研究生教學叢書》之一.

代數數論是研究代數數域和代數整數的一門學問. 本書的主要內容是經典代數數論. 全書共分三部分: 第一、二部分為代數理論和解析理論, 全面介紹了19世紀代數數論的成就; 第三部分為局部域理論, 簡要介紹了20世紀代數數論的一些內容. 附錄中給出了本書用到的近世代數的基本知識和進一步學習代數數論的建議. 每節末附有習題. ^[1] 

馮克勤, 清華大學教授. 1941年出生, 1968年中國科學技術大學數學系研究生畢業. 1973至2000年在中國科學技術大學數學系和研究生院 (北京) 任教, 2000年後到清華大學數學系工作. 從事代數數論和代數編碼理論研究. 出版專著《分圓函數域》、《代數數論簡史》等，出版大學生和研究生教材《整數與多項式》、《近世代數引論》、《交換代數基礎》、《代數數論》和《代數與通信》等, 主編叢書《走向數學》.

目錄

第一部分 代數理論

1 代數數域和代數整數環

1.1 代數數域

1.2 代數整數環

2 整數環中的素理想分解

2.1 分解的存在唯 一性

2.2 分歧指數, 剩餘類域次數和分裂次數

2.3 伽羅瓦擴域中的素理想分解

2.4 Kronecker-Weber定理

3 理想類羣和單位羣

3.1 類羣和類數

3.2 Dirichlet單位定理

第二部分 解析理論

4 ζ(s), L(s,χ) 和ζΚ(s)

4.1 Dirichlet級數的一般理論

4.2 Riemann zeta函數ζ(s) 和 Dirichlet L-函數L(s,χ)

4.3 Dedekind zeta函數ζΚ(s)

5 密度問題

5.1 Dirichlet密度

5.2 Abel L-函數, Чебтарёь密度定理

6 Abel數域的類數公式

6.1 Hasse類數公式

6.2 二次域的類數公式

6.3 分圓域的類數公式, Kummer的結果

第三部分 局部域理論

7 賦值和賦值域

7.1 從例子談起: p進賦值

7.2 賦值和賦值域

7.3 離散賦值域

7.4 分歧指數和剩餘類域次數

8 完備化和賦值的擴充

8.1 完備賦值域

8.2 Hensel引理、牛頓逼近和牛頓折線

8.3 賦值的擴充 (完備情形)

8.4 不分歧擴張和完全分歧擴張

8.5 數域和它的局部化

9 應用舉例

9.1 關於費馬猜想的Kummer定理 (第2種情形)

9.2 有限域上多項式的零點

9.3 有理數域上的二次型

9.4 p進分析

9.5 組合數學

結語: 20世紀的數論: 皇后與僕人

附錄Α 關於羣、環、域的一些知識

附錄Β 進一步學習的建議 ^[1]