二次擴張

二次擴張(quadratic extension)是一類重要的有限擴張。二次擴張是指擴張次數為2的域擴張。域F上的二次不可約多項式的分裂域是F的二次擴張。設K/F是域擴張，K′是K的子域，F上的每個二次多項式在K′中可分解為一次因子的乘積，只要該多項式在K中有根，這樣的K′中的最小者，稱為F在K中的二次閉包。當F與它在代數閉包中的二次閉包一致時，稱F為二次閉域。

設A為交換環，e為A的單位元素。稱A的擴張B是二次擴張，如果存在B的元素v，使得(e，v)是A-模B的基。

設A為交換環，而d為A的元素。以關係：

定義乘法的加法羣A²是A的二次擴張，在這一擴張中，(d，0)是(0，1)的平方；通常將這一擴張記為

。例如，

是複數體，

是高斯整環。 ^[1] 

如果E是一個域，而F是E的子集，它在E中加法和乘法的運算下也成 一個域，我們把E叫做F的一個擴張。E作為F的一個擴張時，可用符號F⊂E表示。如果F⊂E， 且不考慮E的元素間所定義的乘法運算，那麼可把E當作是F上的一個向量空間。如果F上向量空間E的維數(記作E/F)是有限的，那麼把E叫做有限擴張。

域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α₁，α₂，…，α_n}是有限集合時，F(α₁，α₂，…，α_n)稱為添加α₁，α₂，…，α_n於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如：f(α₁，α₂，…，α_n)/g(α₁，α₂，…，α_n)的元組成，其中α₁，α₂，…，α_n∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α₁，α₂，…，α_n)≠0。

由於這個原因，當F(α₁，α₂，…，α_n)關於F的超越次數≥1時，F(α₁，α₂，…，α_n)也稱為F上的代數函數域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。 ^[2] 

圖論的一個基本概念。指由一個圖所派生出的另一個圖.具體地説，一個圖G的閉包H是指符合下列條件包含邊最少的圖：G是H的支撐子圖；對於H上任何兩不相鄰節點v和w，都有ρ_H(v)+ρ_H(w)<n，這裏n表示H的階，ρ_H(v)和ρ_H(w)分別表示圖H上節點v和w的次。所謂閉包運算，就是如下從圖G得到它的閉包的遞歸過程：連通圖G上任何一對不相鄰且滿足ρ_G(u)+ρ_G(v)≥n的節點u和v連一邊，這裏ρ_G(u)和ρ_G(v)分別表示u，v在G上的次，而n表示G的階；對所得的圖仍進行這種運算，直到得到這樣的圖H，對於任何一對不相鄰節點u和v均有ρ_H(u)+ρ_H(v)<n成立。奧爾(Ore，O.)於1961年證明：若一個連通的簡單圖G，對於任何兩個不相鄰的節點，它們的次之和不小於G的階，則G必為哈密頓圖。稱節點次之和特別是兩個節點次之和所滿足的條件為奧爾型條件。所謂一個圖G的k閉包，是指符合下列條件且包含邊最少的圖H：G是H的支撐子圖；對於H上任何兩不相鄰節點v和u，都有ρ_H(v)+ρ_H(u)<k，0<k≤2n-4。於是，n階圖的閉包就是n閉包。這種與閉包運算類似的求一個圖的k閉包的過程稱為k閉包運算。設P是n階圖上的某種性質。在一個n階圖G上的兩個不相鄰的節點u，v，它們次之和ρ_G(u)+ρ_G(v)≥k。若G+(u，v)(即在G上加一條新邊所得的圖)具有性質P可以導出G本身也具有性質P，則稱P是k穩定的。若P是k穩定，則從一個圖的k閉包具有性質P可以導出它本身也有性質P。具有哈密頓圈的性質是n穩定的。 ^[3] 

一個域的最大代數擴域。若域F的代數擴域Ω為代數閉域，則稱Ω為域F的一個代數閉包。一個域F的代數閉包總是存在的，並且在F同構意義下惟一。這個基本定理來自施泰尼茨(Steinitz，E.)。設K是域F的擴域，在K中F上代數元的全體組成的子域A稱為F在K內的代數閉包，它是F在K內的最大代數擴域。特別地，若F=A，則稱F在K內是代數閉的。

實線性空間中的集合的代數意義下的閉包。設A為實線性空間X中的集合。A的代數閉包是指這樣的點b∈X的全體：存在h∈X，對於任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代數閉包常記為acl(A)。如果A=acl(A)，那麼A稱為代數閉集。它也是X在以代數開集為開集的拓撲意義下的閉集，即代數閉集的餘集必定是代數開集；反之亦然。代數閉包的概念在敍述凸集分離定理時也起重要作用。

有的文獻定義代數閉包時，要求對於任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.這時代數閉集就不再是代數開集的餘集。但當A是多於一點的凸集時，由這兩種定義得到的代數閉包是相同的。 ^[4]