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三項方程

鎖定
三項方程(trinomial equation)是一種特殊方程，指形如ax2n+bxn+c=0(a，b，c為常數且都不為零，n∈N+)的方程。故雙二次方程是三項方程在n=2時的特例。解三項方程時，首先作變元替換y=xn，使原方程化為y的二次方程ay2+by+c=0，並解這個二次方程；然後將二次方程的根依次代入xn=y中得二項方程，並解這些二項方程，求出三項方程的所有根。在複數範圍內解三項方程時，若ay2+by+c=0有一個二重複根，則原三項方程有n個不同的復根，每個都是二重根；若ay2+by+c=0有兩個不同的復根，則原三項方程有2n個彼此不同的復根 [1]  。
中文名
三項方程
外文名
trinomial equation
所屬學科
數學
所屬問題
初等代數(方程)
相關概念
二項方程，二次方程，換元法等
特    例
雙二次方程、雙三次方程

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 三項方程求解
  3. 3 三項方程正根的判別

三項方程基本介紹

三項方程是指形如
的一元2n次方程，其中
均不為零（即
）。對於一個三項方程
，通過變量替換
，即可轉化為關於y的一元二次方程
和關於
的二項方程
，從而可用根式來解。當
和
時，三項方程分別叫做雙二次方程和雙三次方程。

三項方程三項方程求解

設三項方程
其中
都是非零複數，n是自然數，叫做三項方程 [2]  。
利用換元法，令
，則2n次三項方程
轉化為二次方程
利用一元二次方程的根的公式，得
代入
，因此，解三項方程轉化為解兩個二項方程
及
例題 解方程
。
解：令
，則原方程化成
解得
，代入
，得兩個二項方程
先解第一類奇次倒數方程
，即
即
第一個方程的根
，第二個方程是第一類偶次倒數方程，解之，得
再解方程
，令
，代入，得
，即
，它的5個根前面已經求出，利用
得
的5個根
原方程的10個根就是
。

三項方程三項方程正根的判別

《衡齋算學》是汪萊的數學著作集，共7卷，1796年~1804年陸續撰成。內容有球面三角、勾股問題、給出了韋達定理的一個特例、一般三項方程
存在正根的充要條件；五卷、六卷為割圓問題，第四卷名為“遞兼數理”，明確給出了組合數定義，討論了組合與垛積公式的關係。
在《衡齋算學》第七冊中，對三項方程和四項方程有無正根作了進一步的討論。此處僅介紹關於三項方程的情形。三項方程的類型共有
其中，
是正整數，
。顯然，第一個方程無正根，第三個與第四個方程有一正根，而第二個方程有二正根或無正根。該書討論的是第二個方程 [3]  。
該書的討論結果可以概述如下。
方程
(n>1是正整數)有正根的充要條件是
方程
(n>2是正整數)有正根的充要條件是
方程
(n>3是正整數)有正根的充要條件是
由此可以歸納出：
方程
(
是正整數，
)有正根的充要條件是
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第一卷：中國科學技術出版社，2002
  • 2.    喬鳳珠．代數方程與方程組：內蒙古人民出版社，1987.01
  • 3.    李兆華．中國數學史基礎：天津教育出版社，2010.09