-
三角形角平分線
鎖定
- 中文名
- 三角形角平分線
- 外文名
- Triangle Angle bisector
- 分 類
- 內角平分線和外角平分線
- 特 點
- 線段、在三角形內
- 學 科
- 數學
三角形角平分線定義1
三角形的一個角的平分線與這個內角的對邊相交,連接這個角的頂點和交點的線段叫三角形的角平分線。(也叫三角形的內角平分線。)
由定義可知,三角形的角平分線是一條線段。
由於三角形有三個內角,所以三角形有三條角平分線。
且任意三角形的角平分線都在三角形內部。
三角形三條角平分線永遠交三角形內部於一點,這個點我們稱之為內心
三角形角平分線定義2
三角形的一個內角平分線與這個角的對邊所在直線相交,連接這個角的頂點和交點的線段叫做三角形內角平分線。
由定義可知,三角形的內角平分線是一條線段。
三角形有六個外角,所以三角形有六條外角平分線。
把一個角平均分成兩個角的線段或射線叫做這個角的平分線。
三角形的三條角平分線相交於一點,這一點稱為三角形的內心,內心到三角形三邊的距離相等。
定理
三角形內角平分線的性質定理:三角形的內角平分線內分對邊成兩條線段,那麼這兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。
三角形內角平分線的判定定理:在Rt△ABC中,若點D按照邊AB和邊AC的比內分邊BC,則線段AD是∠BAC的平分線。
三角形外角平分線的性質定理:三角形的外角平分線分對邊成兩條線段,那麼這兩條線段與相鄰的兩邊對應成比例。三角形外角平分線的判定定理:在Rt△ABC中,若點D按照邊AB和邊CD的比外分邊BC,則線段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分線。三角形的三條角平分線相交於一點,並且這一點到三條邊的距離相等。
三角形角平分線性質
設⊿ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c,p=(a+b+c)/2.
1、三角形的外角平分線都在三角形外。
3、三角形角平分線有個有趣的性質:三角形ABC中角A的平分線為AD,則AB:AC=BD:CD。(可用面積法證明)
4、三角形的角平分線都在三角形內。
三條角平分線為ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,
根據角平分線性質,BD/CD=c/b,(角平分對邊二部分之比為其鄰邊之比),
(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,(合比)
CD=ab/(b+c),
在△ADC中,根據餘弦定理,
AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC
=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),
根據餘弦定理,cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)
AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,
Ta=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)
=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].
同理可證,tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].
tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].
6、三角形的三條角平分線交於一點,該點叫做三角形的內心。常記作點I。