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三角形的外角
鎖定
- 中文名
- 三角形的外角
- 外文名
- Triangle outside
- 學 科
- 數學
- 應用領域
- 數理科學
- 性 質
- 三角形三個外角之和為360°
- 定 理
- 三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和。
目錄
三角形的外角定義
三角形一個內角的一邊與另一邊的反向延長線所夾的角。亦即“三角形內角的鄰補角”。三角形的每個頂點處都有兩個相等的外角，所以每個三角形都有六個外角。
[2]
圖示
三角形的外角性質
圖1
證明：如圖1
∵∠1+∠2=180º,∠A+∠B+∠2=180º
∴∠1=∠A+∠B
∴∠1>∠A,∠1>∠B
所以三角形的一個外角大於與它不相鄰的任意一個內角。
2. 三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和。
圖2
求證：∠1=∠A+∠B，
證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠A+∠B．
拓展：在三角形中，已知其中兩個角的度數，根據三角形內角和定理，則能求出第三個角的度數。
三角形的外角三角形外角平分線定理
定理：三角形的外角平分線外分對邊所成的兩條線段和相鄰兩邊對應成比例。
已知如圖3，△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線於點 D，求證：BD︰CD=AB︰AC。
證明：過C作AD的平行線交AB於點E。
圖3
∵∠1=∠CAD ∴∠AEC=∠ACE
∴AE=AC ∴BD︰CD=AB︰AC
三角形的外角三角形的外角和
性質：三角形的外角和等於360°。
圖22
∠BAF+∠1=180°，
∠CBD+∠2=180°，
∠ACE+∠3=180°，
∴∠BAF+∠1+∠CBD+∠2+∠ACE+∠3=3×180°
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=3×180°-(∠1+∠2+∠3)
∴∠1+∠2+∠3=180°,
∠BAF+∠CBD+∠ACE=3×180°-180°=360°
證法2：如圖23
圖23
∴∠BAF=∠DBG，∠ACE=∠GBC
∴∠BAF+CBD+∠ACE
=∠DBG+∠CBD+∠GBC
=∠DBH+∠HBG+∠CBD+∠GBC
=(∠DBH+∠CBD)+(∠HBG+∠GBC)
=180°+180°=360°
三角形的外角多邊形外角
（1）多邊形外角的定義：多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。在每一個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和。
