三力平衡匯交定理

弱定理：剛體受三個互不平行但共面的力作用而平衡時，這三個力的作用線必匯交於一點。

強定理：作用於物體上的三個相互平衡、但又不互相平行的力，若其中兩個力的作用線匯交於一點， 則此三力必在同一個平面內，且第三個力的作用線通過前兩個力的匯交點。

若三力在同一平面內但不共點且不平行，則取任意兩個力的交點作為支點，那麼這兩個力不產生力矩而第三個力不經過支點必定產生力矩，整個體系就不平衡了。若經過該點但不共面，同樣會產生該方向的加速度，體系仍不平衡。故三力共面且力的作用線交於同一點。

圖1(2張)

如圖

所示，在

三力的作用線上分別取不共線的三點

並相互連接，組成平面

。現考慮三力對

軸的力矩，由於

通過

軸，故

對

軸的力矩均為零。由三力平衡的中力矩平衡知, 三力對任一軸的力矩之和均為零。由此知,

對

軸的力矩也為零，故

與

軸的位置關係只可能有平行或相交兩種情形。這兩種情形的均可得出

在平面

上的結論。同理可證，

也必在平面

上。於是必有

三力共面。

如圖

所示，在剛體的

三點上 別作用三個力

，使剛體處於平衡。其中

的作用線匯交於一點

。根據力的可傳性，將力

移到匯交點

，然後根據力的平行四邊形法則，求得其合力

，則

應與

平衡。根據二力平衡公理，力

與

共線。所以，力

必定與力

共面，且通過力

的匯交點

。 ^[2] 

（1）假設作用在剛體上的不平行的三個力分別為

。建立以

作用點為原點，作用線方向為

軸正方向的空間直角座標系。根據力的可傳性，將的作用點沿其力的作用線平移至

平面 內，設其座標分別為：

（2）根據力矩平衡和受力平衡列出方程：

,

對於Y、Z方向，列相同的力和力矩平衡方程。

（3）解方程組，得：

F_z2=F_z3=0，F₂、F₃和F₁在XOY平面上，再由二力平衡的條件得出共點。（同直接證明）

F_z2·F_z3≠0，設F₂、F₃尾線連線交平面XOY於A₄（x_4，y_4，0），解得：

故，焦點位於X軸上，所以F₂、F₃和F₁在XOZ平面上，再由二力平衡的條件得出共點。

三力平衡匯交定理，是由共點力平衡原理推導出的重要推論。

三力平衡匯交定理是物理學中常用的解題手段，在工程設計、施工和驗收中也有重要意義。它描述了靜力學中平衡狀態的重要條件，在解題中限定了力的方向，提供了新的方程，簡化了解題過程。