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一元五次方程
鎖定
只含有一個未知數（即“元”），並且未知數的最高次數為5（即“次”）的整式方程叫做一元五次方程（英文名：Quintic Equation with one unknown）。一元五次方程的標準形式（即所有一元五次方程經整理都能得到的形式）是ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0（a,b,c,d,e,f為常數，x為未知數）。
- 中文名
- 一元五次方程
- 外文名
- Quintic Equation with one unknown
- 方 程
- ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0
- 條 件
- a,b,c,d,e,f∈R，且a≠0
- 係 數
- a，b，c，d，e
- 常 數
- f
- 現有公式
- 天珩公式
- 類 型
- 整式方程
- 領 域
- 數學
- 根的個數
- 1-5個
一元五次方程方程的定義
一元五次方程方程標準型
形如
的方程是一元五次方程的標準型。
一元五次方程解法
一元五次方程天珩公式
本公式判別法的缺點是僅可求解實係數的部分五次方程。根據Abel定理，一般形式的五次方程無根式解；但對於所有存在重根的五次方程及部分特殊情況下的五次方程而言，可用如下的天珩公式求解。當且僅當重根判別式D=0時，方程存在重根。
重根判別式：
總判別式
(1)若L=M=N=P=0，則方程有一個五重實根。
(2)若L≠0，G=H=J=0，當7L2=4N時，方程有五個實根，其中有一個四重根。
當7L2≠4N時，方程有五個實根，其中有一個三重根和一個二重根。
當H2+GJ≠0時，方程有兩對二重根和一個獨立實根。其中，兩對二重根根據根號內被開方數的正負可能為兩對不等實根或兩對共軛虛根。
(4)若E≠0，D=0，則方程有一個二重實根，其餘三根為三個不等實根(Δ1<0)或一個實根及一對共軛虛根(Δ1>0)。(注：Δ1一定不為0)
其中二重實根為：
當Δ1＞0時，
令
，則其餘三根為：
當Δ1＜0時，
令
，則其餘三根為：
(5)若D≠0，M=N=0，Δ2＞0，則方程有一個實根和兩對不等共軛虛根。
其中，
(6)若D≠0，M=N=0，Δ2＜0，則方程有五個不等實根。
其中，
(7)若D≠0，MN≠0，L=K=0，則方程有一個實根和兩對不等共軛虛根。
一元五次方程複數域內通用公式
先將方程配方：方程兩邊同時除以a，後令y=x+b/5a，即x=y-b/5a，化為關於y的一元五次方程：
y5+py3+qy2+ry+s=0
若滿足q=p2-5r=0，則方程可用以下方法求解：（該公式的缺點在於，僅能求解滿足特殊情況q=p2-5r=0時的根，部分使用天珩公式(如上)能夠求解的實係數五次方程無法使用該公式求根）
其中，V是1的一個五次方根且不為1。可取
，
遇虛數開方時，可使用如下公式：
