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葉戈羅夫定理
鎖定
葉戈羅夫定理定理的陳述
設(M,d)為一個可分度量空間(例如實數,度量為通常的距離d(a,b)= |a−b|)。給定某個測度空間(X,Σ,μ)上的M-值可測函數的序列(fn),以及一個有限μ-測度的可測子集A,使得(fn)在A上μ-幾乎處處收斂於極限函數f,那麼以下結果成立:對於每一個ε>0,都存在A的一個可測子集B,使得μ(B)<ε,且(fn)在相對補集A\B上一致收斂於f。
[1]
在這裏,μ(B)表示B的μ-測度。該定理説明,在A上幾乎處處逐點收斂,意味着除了在任意小測度的某個子集B上外一致收斂。這種收斂又稱為幾乎一致收斂。
葉戈羅夫定理假設的討論
葉戈羅夫定理證明
對於實數n和k,定義集合En,k為以下並集:
當n增加時這些集合逐漸變小,意味着En+1,k總是En,k的子集,因為第一個並集包含了較少的集合。一個點x,使得序列(fm(x))收斂於f(x),不能位於每一個En,k中(對於固定的k),因為fm(x)最終必須離f(x)比離1/k更近。因此根據在A上μ-幾乎處處逐點收斂的假設,有:
對於每一個k。由於A的測度是有限的,我們便可從上面推出連續性;因此對於每一個k,都存在某個自然數nk,使得:
對於這個集合中的x,我們認為逼近f(x)的1/k-鄰域的速度太慢。定義
為A中所有點x的集合,使得逼近f(x)的至少一個1/k-鄰域的速度太慢。因此,在集合差A\B上,我們便得出一致收斂。
根據μ的σ可加性,並利用幾何級數,我們便得到:
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