盧津定理

設

是可測函數，對任何

，都存在緊緻集E，使得

，而且f限制到E上是連續函數。此處

是勒貝格測度。 ^[1] 

因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間

中稠密，存在連續函數序列

依L範數收斂至f，即

。故此有子序列

幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外，

一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。

設

是

上的正則博雷爾測度，

是

可測函數。X是

中的

可測集，而且

，那麼對任意

，X中存在緊緻集K，使得

，而且f限制到K上是連續函數。

實分析或實數分析是處理實數及實函數的數學分析。專門實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性，光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。

可測函數是可測空間之間的保持（可測集合）結構的函數，也是勒貝格積分或實分析中主要討論的函數。數學分析中的不可測函數一般視為病態的。

如果Σ是集合X上的σ代數，Τ是Y上的σ代數，則函數f:X→Y是Σ/Τ可測的，如果Τ內的所有集合的原像都在Σ內。

根據慣例，如果Y是某個拓撲空間，例如實數空間R，或複數空間C，則我們通常使用Y上的開集所生成的波萊爾σ代數，除非另外説明。在這種情況下，可測空間(X,Σ)又稱為波萊爾空間。

如果從上下文很清楚Τ和Σ是什麼，則函數f可以稱為Σ可測的，或乾脆稱為可測的。