z檢驗

設

為取自正態總體

的一個容量為

的樣本，

與

分別為樣本均值與樣本方差，

為已知常數，

. 以下分別是關於未知參數

的U檢驗方法。

（1）已知

，檢驗

選擇統計量

在

成立的假定下，

服從

分佈，對給定的顯著性水平

，查標準正態分佈表可得臨界值

，使得

這説明

為小概率事件。將樣本值代入算出統計量的值

。如果

，則表明在一次試驗中小概率事件

出現了，因而拒絕

，接受

。在以上的假設檢驗問題中，當構造小概率事件時，利用了統計量

的概率密度曲線兩側尾部的面積，這樣的檢驗稱為雙側檢驗。這裏採用雙側檢驗有直觀的解釋：因為任何情況下，

都是未知參數

的無偏估計，所以當

成立時，即

時，

與

不應相差太大。因此，對於固定的樣本容量

，如果

太大，則有理由懷疑

的正確性，從而認為

與

有顯著差別。

大到什麼程度才有足夠的理由拒絕

呢？這需要由給定的顯著性水平

查得的臨界值

來決定 ^[1]  。

（2）已知

，檢驗

選擇統計量

並令

則

. 若

成立，還有

對給定的

，由標準正態分佈表可得臨界值

，使得

即

這説明事件“

” 為小概率事件。因此

的拒絕域為

. 將樣本值代入算出統計量的值

，若

，則拒絕

，接受

；否則可接受

。

在以上的假設檢驗問題中，當構造小概率事件時，利用了

的分佈概率密度曲線的單側尾部的面積，這樣的檢驗稱為單邊檢驗。直觀解釋是：如果

成立，即

比

的值就不能大得太多。因此，對於固定的樣本容量

，如果

太大，則有理由懷疑

的正確性。至於

大到什麼程度才有足夠的理由拒絕

呢？這需要由給定的顯著性水平

查得的臨界值

來決定 ^[1]  。

例題：某電器零件的平均電阻一直保持在2.64歐姆，如果改變工藝前後電阻的標準差都保持在0.06歐姆。經工藝改變後測得n=100個零件，其平均值

=2.62歐姆，問新工藝是否使此零件的電阻變小 ^[2]  ？

解 假定該電器零件的電阻服從正態分佈，而且可以認為

=0.06歐姆。因此考慮對假設的檢驗，由所提的對立假設可知，應取單側拒絕域

如果取

=0.01，查標準正態分佈表可知

，而

因為

，所以拒絕原假設而接受對立假設，即認為新工藝使零件的電阻顯著變小，而檢驗的

值需要查分位數表。更一般地，可以由計算機計算給出，此處為

[H,SIG]=ztest(X,M,sigma,ALPHA,TAIL) ^[3] 

X為樣本值，M為

，sigma為標準差，ALPHA為顯著性水平。TAIL=0時，表示備擇假設為“期望值不等M”（雙邊檢驗）；TAIL=1時，表示備擇假設為“期望值大於M”（單邊檢驗）；TAIL=-1時，表示備擇假設為“期望值小於M”（單邊檢驗）。

當標準差sigma已知時，函數執行一正態檢驗來判斷是否來自一正態分佈的樣本的期望值，M作為評判標準來估計。在沒有重新設置的情況下，ALPHA和TAIL的默認值分別為0.05和0。

SIG為當原假設為真時得到的觀察值的概率，當SIG為小概率的時候則對原假設提出置疑。H=0表示在顯著水平為ALPHA的情況下，不能拒絕原假設；H=1表示在顯著性水平為ALPHA的情況下，拒絕原假設 ^[3]  。

例題：給定一組某廠生產的紐扣直徑的數據，假設其直徑

，已知

，並且在標準情況下，紐扣的平均直徑應該是26(mm)，問：是否可以認為這批紐扣的直徑符合標準？（顯著水平

=0.05）

解：總體均值

和

已知，則

，問題就化為根據樣本值來判斷

還是

，為此提出假設：

原假設：

備擇假設：

Matlab實現過程如下：

>>x=[26.01,26.00,25.98,25.86,26.32,25.58,25.32,25.89,26.32,26.18]

程序運行結果如下：

x=

Columns 1 through 6

26.0100 26.0000 25.9800 25.8600 26.3200 25.5800

Columns 7 through 10

25.3200 25.8900 26.3200 26.1800

>>[H,SIG]=ztest(x,26,4.2,0.05,0)

程序運行結果如下：

H=

0

SIG=

0.9622

結果H=0，説明在0.05的水平下，不能拒絕原假設，即認為這批紐扣的直徑符合標準 ^[3]  。