Lanczos算法

Lanczos算法實際上是Arnoldi算法對於對稱矩陣的特殊形式，可應用於對稱矩陣線性方程組求解的Krylov子空間方法以及對稱矩陣的特徵值問題。

給定對稱矩陣A;

選取單位向量v_1;

設定v_0為零向量;

設定b_0=0;

for i=1:m

a_i=(Av_i,v_i);

b_i=||Av_i-a_iv_i-b_{i-1}v_{i-1}||;

b_i v_{i+1} = Av_i - a_i v_i - b_{i-1}v_{i-1};

end

由上述Lanczos算法得：V'AV=T,

其中V=[v_1,...,v_m], T=tridiag(b,a,b), a=[a_1,...,a_m], b=[b_1,...,b_m].

A代表任意一個需要三對角化的矩陣，b是任意一個向量，且b的行數與A的列數相同因為要用到v = A*q;

nmax是你想要得到的矩陣的大小，例如nmax=12，最後得到12*12的三對角矩陣。

結果輸出的是一個三對角矩陣

輸入形式為：lanczos([1 2 3;4 5 6;7 8 9],[1;1;1],12);

function T = lanczos(A, b, nmax)

m = size(A,1);

beta(1) = 0;

qprev = zeros(m, 1);

q = b / norm(b);

for n = 1:nmax

v = A*q;

alpha(n) = q' * v;

v = v - beta(n) * qprev - alpha(n) * q;

beta(n+1) = norm(v);

qprev = q;

q = v / beta(n+1);

end

beta = beta(2:end-1);

T = diag(alpha) + diag(beta,1) + diag(beta,-1);