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Dinic算法
鎖定
- 中文名
- Dinic算法
- 外文名
- dinic algorithm
- 説 明
- 網絡流最大流的優化算法之一
- 時間複雜度
- O(n^2*m)
- 補 充
- 相關代碼
Dinic算法歷史
Yefim Dinitz在Adel'son-Vel'sky（AVL樹的發明者之一）的算法課的課前活動上發明了這個算法。當時他不知道關於Ford–Fulkerson算法的基本事實。
Dinitz在1969年一月向他人公佈了他發明的算法，又在1970年將其發佈在Doklady Akademii nauk SSSR雜誌上。 在1974年，Shimon Even和(他之後的博士學生)Alon Itai在海法的以色列理工學院對Dinitz的算法以及Alexander Karzanov的阻塞流的想法很感興趣。但是雜誌上的文章每篇的篇幅被限制在四頁以內，很多細節都被忽略，這導致他們很難根據文章還原出算法。但他們沒有放棄，在後三天不斷地努力，設法瞭解這兩個文件中的分層網絡的維護問題。 在接下來的幾年，Even由於在講學中將Dinitz念為Dinic，導致Dinic算法反而成為了它的名稱。 Even和Itai也將算法與BFS和DFS結合起來，形成了當前版本的算法。
在Ford–Fulkerson算法被髮明之後的約十年之內，使算法能在多項式複雜度之內處理不合理的邊界的方法是未知的。這造成缺乏任何已知的多項式複雜度算法解決最大流問題。 Dinitz算法和Edmonds–Karp算法在1972年發佈，證明在Ford–Fulkerson算法中，如果每次總選擇最短的一條增廣路，路徑長度將單調增加，且算法總能終止。
[1]
Dinic算法算法介紹
Dinic算法層次圖
Dinic算法算法流程
1、根據殘量網絡計算層次圖。
2、在層次圖中使用DFS進行增廣直到不存在增廣路。
3、重複以上步驟直到無法增廣。
Dinic算法時間複雜度
因為在Dinic的執行過程中，每次重新分層，匯點所在的層次是嚴格遞增的，而n個點的層次圖最多有n層，所以最多重新分層n次。在同一個層次圖中，因為每條增廣路都有一個瓶頸，而兩次增廣的瓶頸不可能相同，所以增廣路最多m條。搜索每一條增廣路時，前進和回溯都最多n次，所以這兩者造成的時間複雜度是O(nm)；而沿着同一條邊(i,j)不可能枚舉兩次，因為第一次枚舉時要麼這條邊的容量已經用盡，要麼點j到匯不存在通路從而可將其從這一層次圖中刪除。綜上所述，Dinic算法時間複雜度的理論上界是O(n^2*m)。
Dinic算法代碼實現
遞歸實現
代碼簡短，效率略低。（不是dinic，是最短路徑增值）
boolbuild()//建立層次圖
{
intx,y;
memset(d,-1,sizeof(d));
memset(G,-1,sizeof(G));
bg=ed=d[s]=0;Q[ed++]=s;G[s]=g[s];
while(bg<ed)
{
x=Q[bg++];
for(inti=g[x];i+1;i=np)
{
y=to;
if(cap&&d[y]==-1)
{
d[y]=d[x]+1;G[y]=g[y];
if(y==t)returntrue;
Q[ed++]=y;
}
}
}
returnfalse;
}
intfind(intx,intlow=inf)//進行增廣
{
if(x==t)returnlow;
intret=0,y;
for(int&i=G[x];i+1;i=np)//注意i是引用
{
y=to[i];
if(cap[i]&&d[y]==d[x]+1&&(ret=find(y,low<?cap[i])))
{
cap[i]-=ret;cap[vp]+=ret;
returnret;
}
}
return0;
}
intdinic()//主過程
{
intflow,ret=0;
while(build())
while(flow=find(s))
ret+=flow;
returnret;
}
非遞歸實現
效率更高，但代碼量略有些大。
//Author:dd_engi
voidDinic()
{
for(;;){
BFS();
if(D[T]==-1)break;
intpath_n=0;
intx=S;
memcpy(cur,E,sizeof(cur));
for(;;){
if(x==T){
intmink=-1,delta=INT_MAX;
for(inti=0;i<path_n;++i){
if(path[i]->c<delta){
delta=path[i]->c;
mink=i;
}
}
for(inti=0;i<path_n;++i){
path[i]->c-=delta;
path[i]->back->c+=delta;
}
path_n=mink;
x=path[path_n]->x;
}
edge*e;
for(e=cur[x];e;e=e->next){
if(e->c==0)
continue;
inty=e->y;
if(D[x]+1==D[y])
break;
}
cur[x]=e;
if(e){
path[path_n++]=e;
x=e->y;
}
else{
if(path_n==0)
break;
D[x]=-1;
--path_n;
x=path[path_n]->x;
}
}
}
}
PASCAL代碼實現
ProgramDinic;
Type
Lx=Array[0..50]OfLongint;
Var
Lu:Lx;
A,B:Array[0..50]Of Lx;
D,Dist:LX;
V,T:Array[0..50]Of Boolean;
Head,Tail,Sum,Ans,X,Y,S,I,P,J,K,M,N:Longint;
Q,C:Boolean;
ProcedureSpfa(S:Longint);
Var
I,J,Now,Sum:Longint;
Begin
Fillchar(D,Sizeof(D),0);
Fillchar(V,Sizeof(V),False);
ForJ:=1 To N Do
Dist[J]:=MaxLongint;
Dist[S]:=0;
V[S]:=True;
D[1]:=S;
Head:=1;
Tail:=1;
While Head<=Tail Do
Begin
Now:=D[Head];
ForI:= 1 To B[Now,0] Do if A[Now,B[Now,I]]>0 then
If(Dist[B[Now,I]]>Dist[Now]+1) Then
Begin
Dist[B[Now,I]]:=Dist[Now]+1;
If Not V[B[Now,I]] Then
Begin
Inc(Tail);
D[Tail]:=B[Now,I];
V[B[Now,I]]:=True;
End;
End;
Inc(Head);
End;
End;
Procedure Dfs(X,D:Longint);
Var
I:Longint;
Begin
Lu[D]:=X;
T[X]:=True;
If X=N Then
Begin
C:=False;
S:=D;
End;
For I:=1 To N Do
If(A[X,I]>0)And C And(NotT[I])And(Dist[X]+1=Dist[I])
Then Dfs(I,D+1);
End;
Procedure Expand(L:Lx;Len:Longint);
Var
I,J,K:Longint;
Begin
K:=MaxLongint;
ForI:=2 To Len Do
If K>A[L[I-1],L[I]] Then K:=A[L[I-1],L[I]];
Sum:=K;
Writeln('K=',K);
For I:=2 To Len Do
Begin
Dec(A[L[I-1],L[I]],K);
Inc(A[L[I],L[I-1]],K);
End;
End;
Begin
Read(N,M);
ForI:=1 To M Do
Begin
Read(X,Y,K);
A[X,Y]:=K;
Inc(B[X,0]);
B[X,B[X,0]]:=Y;
End;
C:=False;
While True Do
Begin
Spfa(1);
ForI:=1 To N Do
T[I]:=False;
K:=MaxLongint;
C:=True;
Dfs(1,1);
If C Then Break;
Expand(Lu,S);
Inc(Ans,Sum);
End;
Writeln(Ans);
End.
