Burgers方程

伯格斯方程(Burgers equation) 是一個模擬衝擊波的傳播和反射的非線性偏微分方程。 ^[1-2] 

伯格斯方程是應用數學的各個領域的基本偏微分方程，如流體力學，非線性聲學，氣體動力學。 它被用約翰內斯·馬丁斯漢堡（1895-1981）的名字命名。

對於給定的字段y（x，t）和擴散係數（或粘度，如在原始流體力學上下文中）d，伯格斯方程也稱為粘性伯格斯方程）在一個空間維度是耗散系統：

增加時空噪聲

形成隨機伯格斯方程 ^[3] 

伯格斯方程只適用於一個空間維度，Kardar-Parisi-Zhang方程則廣泛應用於多個維度。

當擴散項不存在（即d = 0）時，伯格斯方程成為不粘伯格斯方程：

這是可以發展不連續性（衝擊波）的守恆方程的原型。 以前的方程式是伯格斯方程的“平流形式”。 “守恆形式”是

不含伯格斯的方程;

無粘連的伯格斯方程是一個守恆方程，更一般地説是一階準線性雙曲線方程。 事實上，通過將其電流密度定義為動能密度：

它可以放入電流密度均勻的形式：

保守方程的解可以通過特徵方法構建。 該方法產生如果X（t）是普通微分方程的解:

結論：

，這是一個隱含的關係，決定了不含相關伯格斯方程式的解。 如果特徵相交，則不存在PDE的經典解決方案。

粘性伯格斯方程 ^[4]  ：

粘性伯格斯方程可以通過Cole-Hopf變換線性化。

將其轉化為方程式，可以將其與x相集成，

其中f（t）是取決於邊界條件的函數。 如果f（t）= 0相同（例如，如果問題要在週期性域上解決），那麼我們得到擴散方程

。

擴散方程可以解決，Cole-Hopf變換反演，得到伯格斯方程的解：