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box-cox變換
鎖定
Box-Cox變換是Box和Cox在1964年提出的一種廣義冪變換方法，是
統計建模中常用的一種
數據變換，用於連續的響應變量不滿足正態分佈的情況。Box-Cox變換之後，可以一定程度上減小不可觀測的誤差和預測變量的相關性。Box-Cox變換的主要特點是引入一個參數，通過數據本身估計該參數進而確定應採取的數據變換形式，Box-Cox變換可以明顯地改善數據的正態性、對稱性和方差相等性，對許多實際數據都是行之有效的
[1]
。
- 中文名
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box-cox變換
- 外文名
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Box-Cox transformation
- 性 質
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變換
- 所屬學科
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數學
- 屬 性
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一種廣義冪變換方法
- 相關方法
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極大似然估計
box-cox變換簡介
Box-Cox變換的一般形式為：
式中
為經Box-Cox變換後得到的新變量，
為原始連續因變量，
為變換參數。以上變換要求原始變量
取值為正，若取值為負時，可先對所有原始數據同加一個常數
使其
為正值，然後再進行以上的變換。對不同的
所作的變換不同。在
時該變換為對數變換，
時為倒數變換，而在
時為平方根變換。Box-Cox變換中參數
的估計有兩種方法：(1)
最大似然估計；(2)Bayes方法。通過求解
值，就可以確定具體採用哪種變換形式。
box-cox變換變換過程
Box-Cox變換是對迴歸因變量Y的如下變換：
在這裏
是一個待定變換參數。對於不同的
，所作的變換也不相同，所以Box-Cox變換是一族變換，它包括了平方根變換(
)，對數變換(
)和倒數變換(
)等常用變換，對因變量的n個觀測值
，應用上述變換，可得變換後的向量
即要求通過因變量的變換，使得變換過的向量
與迴歸自變量具有線性相依關係，誤差也服從正態分佈．誤差各分量是等方差且相互獨立，故Box-Cox變換是通過參數
的適當選擇。達到對原來數據的“綜合治理”，使其滿足一個正態
線性迴歸模型的所有假設條件。
用極大似然方法來確定
，由於
，故對固定的
，
和
的似然函數為
當
固定時，
是不依賴於參數
和
的常數因子，
的其餘部分關於
和
求導數，令其等於零，可求得
和
的
極大似然估計該式為
的一元函數，通過求它的最大值來確定
，因為
是x的單調函數，問題可轉化為求
的最大值，對式(3)求對數，略去與
無關的常數項，得
式(4)對Box-Cox變換在計算機上實現帶來很大的方便，因為我們只要求出
殘差平方和的最小值，就可以求出
的最大值，雖然很難找出使
達到最小值的
的解析表達式，但是對一系列的
給定值，通過最普通的求最小二乘估計的迴歸程序，很容易計算出對應的
，畫出
關於
的曲線，可在圖上近似地找出
達到最小值的
。
Box-Cox變換變換的具體步驟如下：
(1)對給定的
值，計算
，如果
，用式(6)計算，否則用式(7)；
(3)對一系列的
值，重複上述步驟，得到相應的殘差平方和
的一串值，以
為橫軸，作出相應的曲線，用直觀的方法，找出使
達到最小值的點
。
box-cox變換意義
Box-Cox變換的一個顯著優點是通過求變換參數
來確定變換形式，而這個過程完全基於數據本身而無須任何先驗信息，這無疑比憑經驗或通過嘗試而選用
對數、
平方根等變換方式要客觀和精確。
Box-Cox變換的目的是為了讓數據滿足線性模型的基本假定，即線性、正態性及方差齊性，然而經Box-Cox變換後數據是否同時滿足了以上假定，仍需要考察驗證
[2]
。
- 參考資料
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1.
荊慶林．線性迴歸及其應用研究：吉林大學出版社，2012.12
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2.
顏虹．中華醫學統計百科全書 單變量推斷統計分冊：中國統計出版社，2012.03
